Thèse Année : 2024

Multilevel proximal methods and application to image restoration

Méthodes proximales multi-niveaux et application à la restauration d'images

Résumé

The size of image restoration problems is constantly increasing. This growth poses a major scaling problem for optimization algorithms, which struggle to provide satisfactory solutions in a reasonable amount of time. Among the methods proposed to overcome this challenge, multilevel methods seem to be an ideal candidate. By systematically reducing the size of the problem, the computational cost of solving it can be drastically decreased. This type of approach is standard in the numerical solution of partial differential equations (PDEs), with theoretical guarantees and practical demonstrations to explain their success. However, current multilevel optimization methods do not have the same guarantees nor the same performance. In this thesis, we propose to bridge a part of this gap by introducing a new multilevel algorithm, IML FISTA, which has the optimal theoretical convergence guarantees for convex non-smooth optimization problems, i.e. convergence to a minimiser and convergence rate of the objective function to a minimum value. IML FISTA is also able to handle state-of-the-art regularizations in image restoration. By comparing IML FISTA with standard algorithms on many image restoration problems: deblurring, denoising, reconstruction of missing pixels for colour and hyperspectral images, and reconstruction of radio-interferometric images, we show that IML FISTA is capable of significantly speeding up the resolution of these problems. As IML FISTA's framework is sufficiently general, it can be adapted to many other image restoration problems. We conclude this thesis by proposing a new point of view on multilevel algorithms, by demonstrating their equivalence, in certain cases, with coordinate descent algorithms, which are much more widely studied in the non-smooth optimization literature. This new theoretical framework allows us to analyse multilevel algorithms more rigorously, and in particular to extend their convergence guarantees to non-smooth and non-convex problems. This framework is less general than that of IML FISTA, but it paves the way for a more theoretically robust design of multilevel algorithms.
La taille des problèmes de restauration d'images ne fait qu'augmenter. Cette croissance pose un problème majeur de passage à l'échelle pour les algorithmes d'optimisation, qui peinent à fournir des solutions satisfaisantes en un temps raisonnable. Parmi les méthodes proposées pour surmonter ce défi, les méthodes multi-niveaux semblent être un candidat idéal. En réduisant de manière systématique la dimension du problème, le coût computationnel nécessaire à sa résolution peut diminuer drastiquement. Ce type d'approche est classique pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles (EDP), avec des garanties théoriques et des démonstrations pratiques pour expliquer leur succès. Cependant, les méthodes actuelles d'optimisation multi-niveaux n'ont pas les mêmes garanties, ni les mêmes performances. Dans cette thèse, nous proposons de combler une partie de cet écart en introduisant un nouvel algorithme multi-niveau, IML FISTA, possédant les garanties de convergence théoriques optimales pour les problèmes d'optimisation convexes non-lisses, i.e., convergence vers un minimiseur et taux de convergence de la fonction objectif vers une valeur minimale. IML FISTA est aussi en mesure de traiter les régularisations de l'état-de-l'art en restauration d'images. En comparant IML FISTA aux algorithmes standards sur un grand nombre de problèmes de restauration d'images: défloutage, débruitage, reconstruction de pixels manquants pour des images en couleur et des images hyperspectrales, ainsi qu'en reconstruction d'images radio-interférométriques, nous montrons qu'IML FISTA est capable d'accélérer la résolution de ces problèmes de manière significative. Le cadre d'IML FISTA est suffisamment général pour s'adapter à de nombreux autres problèmes de restauration d'images. Nous concluons cette thèse en proposant un nouveau point de vue sur les algorithmes multi-niveaux, en démontrant leur équivalence, dans certains cas, avec les algorithmes de descente par coordonnées qui sont nettement plus étudiés dans la littérature de l'optimisation non-lisse. Ce nouveau cadre théorique nous permet d'analyser les algorithmes multi-niveaux de manière plus rigoureuse, et notamment d'étendre leurs garanties de convergence à des problèmes non-lisses et non-convexes. Ce cadre est moins général que celui d'IML FISTA, mais il ouvre la voie à une conception plus solide sur le plan théorique des algorithmes multi-niveaux.
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  • HAL Id : tel-04906328 , version 1

Citer

Guillaume Lauga. Multilevel proximal methods and application to image restoration. Mathematics [math]. École Normale Supérieure de Lyon, 2024. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04906328⟩
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