Mathematical and numerical study of non uniform open waveguides, modal approach
Etude mathématique et numérique de guides d'ondes ouverts non uniformes, par approche modale
Résumé
This thesis deals with the theoretical and numerical study of the scattering of a time-harmonic wave by the junction between two open waveguides. We demonstrate that such a problem is well-posed. For this aim, we use modal radiating conditions, which are based on the representation of the solution in a straight waveguide thanks to the guided modes (which are linked to the point spectrum of the transverse operator) and the radiation modes (which are linked to the continuous spectrum of the transverse operator). This representation of the solution seems to be intractable in a numerical method, because of the presence of the continuum of the radiation modes. Alternatively, we use PMLs (Perfectly Matched Layers) in order to set the problem in a bounded domain in the transverse directions, which severely modifies the nature of the transverse operator: it loses its selfadjointness and its spectrum becomes exclusively discret. A new category of modes appears: the leaky modes, whose properties are studied. We explain that the loss of the selfadjointness implies that the calculation of the modes is intricate. These new modes (which form a discret set) are used into numerical methods for the junction between two open waveguides (transparent boundary conditions using Dirichlet-to-Neumann operators, multimodal method).
Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude, à la fois théorique et numérique, de la diffraction d'une onde harmonique par la jonction entre deux guides d'ondes ouverts. Nous démontrons que ce problème est bien posé. Pour cela, nous utilisons des conditions de rayonnement modales, qui sont fondées sur la représentation de la solution dans un guide droit à l'aide des modes guidés (liés au spectre ponctuel de l'opérateur transverse) et des modes de radiation (liés au spectre continu de l'opérateur transverse). Cette représentation semble difficile à mettre en oeuvre dans une méthode numérique, à cause du continuum des modes de radiation. Comme alternative, nous utilisons des PMLs (Perfectly Matched Layers) pour borner le domaine de calcul dans les directions transverses, ce qui modifie singulièrement la nature de l'opérateur transverse : il perd son caractère autoadjoint et son spectre devient exclusivement discret. Parmi ses nouveaux modes, se trouvent désormais des modes à fuite, dont les propriétés sont étudiées. Nous expliquons en quoi la perte du caractère autoadjoint implique que le calcul des modes peut être délicat. Nous expliquons ensuite comment utiliser ces nouveaux modes (formant maintenant un ensemble discret) dans des méthodes numériques pour la jonction entre deux guides d'ondes ouverts (conditions aux limites transparentes fondées sur des opérateurs de Dirichlet-to-Neumann, méthode multimodale).