Homogeneization and numerical analysis of degenerate elliptic and parabolic equations.
Homogénéisation et analyse numérique d'équations elliptiques et paraboliques dégénérées.
Résumé
This thesis is about two topics. In a first part, we look at the existence of stationnary solutions of mean curbature problem with an external fields thanks to the existence of global minimizers to some perimeter problem. This problem is the minimization of an energy on sets with a term of perimeter, and an external energy. Those stationnary solutions give bounds to the evolution of others solutions. Moreover if we change the external energy of the perimeter problem we can approach a solution of the evolution of an interface by mean curvature. In a second part, we present an algorithm wich calculate the solution of a Dirichlet problem for the Infinity Laplacian thanks to Aronsson's equation.
Cette thèse comporte deux parties. Dans un premier temps, nous allons faire un lien entre des solutions stationnaires de problèmes d'évolutions de frontières par courbure moyenne avec des champs extérieurs et l'existence de minimiseur globaux d'un problème de minimisation de périmètre avec une énergie. Ces solutions stationnaires permettent en outre de fournir des bornes pour les solutions non stationnaires du problème. De plus, en modifiant l'énergie, on montre que les résolutions successives des problème de périmètre permettent de calculer l'évolution d'un ensemble par courbure moyenne. Enfin, on présentera un algorithme permettant de calculer les solutions de viscosité d'un problème de Dirichlet portant sur le Laplacien Infini grâce aux équations d'Aronsson.
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