Investigation of some transmission problems with sign-changing coefficients. Application to metamaterials.
Étude de quelques problèmes de transmission avec changement de signe. Application aux métamatériaux.
Résumé
In this thesis, we study various operators that present a sign-changing in their principal part. These operators appear in particular in electromagnetism when studying wave propagation in structures made of usual materials and negative materials. Here, we say that a material is negative when it is modeled by a dielectric permittivity and/or a magnetic permeability that take(s) negative values. Due to the change of sign of the phy- sical parameters, we can not use the classical tools to study such problems. In the first part of the thesis, we focus on the scalar transmission problem which is obtained from Maxwell's equations when the geometry and the data are invariant in one direction. Using the T-coercivity technique, based on geometric arguments, we establish necessary and sufficient conditions to prove well-posedness for this problem in a bounded domain in H^1. We also show how this approach can be used to justify the convergence of the usual finite element method to approximate the solution. In a second step, using different techniques coming from the study of elliptic equations in domains with singular geometry, we define a new functional framework to recover Fredholmness when it is lost in H^1. This leads to a surprising black hole phenomenon. Everything happens like if some waves were sucked into a point. We then perform an asymptotic analysis with respect to a small perturbation of the interface between the positive material and the negative material in this functional framework. In our analysis, we observe a curious phenomenon of blinking eigenvalues. The third part of this thesis is devoted to the study of Maxwell's equations. We first work on Maxwell's equations in 2D using the results obtained for the scalar problem. Then, we proceed with the 3D Maxwell's equations. We show that they are well-posed as long as the associated scalar problems are well-posed. Finally, in the fourth section, we investigate the interior transmission problem that arises in scattering theory. The operator for this problem also presents a sign-changing in its principal part, and therefore can be studied relying on the analogy with the transmission problem between a positive material and a negative material. For this interior transmission problem, some configurations lead to consider a fourth-order transmission problem with sign-changing coefficients. Our analysis shows that this latter operator has strikingly different properties from those of the second order scalar operator.
Dans cette thèse, nous étudions quelques opérateurs présentant un changement de signe dans leur partie principale. Ces opérateurs apparaissent notamment en électromagnétisme lorsqu'on s'intéresse à la propagation des ondes dans des structures constituées de matériaux usuels et de matériaux négatifs en régime harmonique. Ici, nous appelons matériau négatif un matériau modélisé par une permittivité diélectrique et/ou une perméabilité magnétique négative(s). En raison du changement de signe des coefficients physiques, on ne peut utiliser les outils classiques pour étudier ce problème. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous concentrons sur le problème de transmission scalaire auquel on peut réduire les équations de Maxwell lorsque la géométrie et les données présentent une invariance dans une direction. Avec la technique de la T-coercivité, basée sur des arguments géométriques, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver le caractère bien posé de ce problème en domaine borné dans H^1. Nous montrons également comment on peut utiliser cette approche pour justifier la convergence des méthodes usuelles d'approximation par éléments finis. Dans un deuxième temps, au moyen de techniques différentes, issues de l'étude des équations elliptiques dans des domaines à géométrie singulière, nous définissons un nouveau cadre fonctionnel pour recouvrer le caractère Fredholm lorsque celui-ci est perdu dans H^1. Il apparaît alors un phénomène surprenant de trou noir. Tout se passe comme si des ondes étaient aspirées en un point. Nous réalisons ensuite une étude asymptotique par rapport à une petite perturbation de l'interface entre le matériau positif et le matériau négatif dans ce cadre fonctionnel. Au cours de notre analyse, nous mettons en évidence un curieux phénomène de valeur propre clignotante. La troisième partie de ce document est consacrée à l'étude des équations de Maxwell. Nous travaillons d'abord sur les équations de Maxwell 2D en exploitant les résultats obtenus pour le problème scalaire. Puis, nous nous intéressons aux équations de Maxwell 3D. Nous montrons qu'elles sont bien posées dès lors que les problèmes scalaires associés sont bien posés. Enfin, dans une quatrième partie, nous étudions le problème de transmission intérieur apparaissant en théorie de la diffraction. L'opérateur pour ce problème présente également un changement de signe dans sa partie principale. Nous abordons son étude en utilisant l'analogie existant avec le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif. Certaines configurations pour ce problème de transmission intérieur conduisent à considérer un problème de transmission du quatrième ordre avec changement de signe. Nous prouvons que cet opérateur présente des propriétés étonnamment différentes de celles de l'opérateur scalaire du second ordre.