Almost sure optimal stopping times : theory and applications.
Stratégies de couverture presque optimale : théorie et applications
Résumé
Abstract: This thesis has 8 chapters. The chapter 1 is an introduction to the issues encountered in the energy market : low frequency trading, high transaction costs, spread option pricing. The chapter 2 studies the hedging error convergence of a call option in the Bachelier model, for proportional transaction costs (Leland-Lott's model) and when the intervention frequency becomes infinite. We prove that this error is bounded by a random variable proportional to the convergence rate. However, the proof of convergence in probability requires some restrictive regularities on the sensitivities. The following chapters avoid these difficulties by studying the almost sure convergence. The chapter 3 develop new tools for the almost sure convergence. These results have many consequences on the control path by path of martingales and of their quadratic variations, as their increments between two general stopping times. These convergence results are well-known to be difficult to demonstrate without any information on the laws. Moreover, we apply these results to the almost sure minimization of the renormalized quadratic variation of the hedging error for a general payoff (multidimensional setting, Asian and Lookback option) for a broad class of trading dates. A lower bound for our criterion is found and an optimal sequence of stopping times is described, which is given by hitting times of random ellipsoids, depending only on the option gamma. The chapter 4 studies the hedging error convergence of an option with convex payoff (dimension 1) taking into account Leland-Lott's transaction costs. We decompose the error into a martingale part and a negligible part, then we minimize the quadratic variation of this martingale on a class of hitting times for Deltas satisfying some non-linear EDP on the second derivative. Moreover, we find a minimizing sequence of hitting times. Numerical tests illustrate our approach w.r.t. a series of strategies from the literature. The chapter 5 extends the chapter 3 by considering a discrete variation functional of order Y and Z for two Ito processes Y and Z; the minimization is on a broad class of stopping times. Lower bound and minimizing sequence are obtained. A numerical study on the transaction costs is done. The chapter 6 studies the Euler discretization of a multidimensional process X, controlled by a semi-martingale Y . We lessen some quadratic criterion on the error scheme over the discretization time grid. We find a lower bound and an optimal grid, independent of the observable data. The chapter 7 gives a Limit Central Theorem for the discretization of stochastic integrals on hitting times of any adapted ellipsoids. The asymptotic correlation is a consequence of sharp limits involving solutions to Dirichlet's problem. In the chapter 8, we are interested to expansion formulas for spread options in local volatility model. The originality of our approach is to keep the martingale property for the approximation and to exploit the call payoff structure. Numerical tests show the relevance of our approach.
Résumé : Cette thèse comporte 8 chapitres. Le chapitre 1 est une introduction aux problématiques rencontrées sur les marchés énergétiques : fréquence d'intervention faible, coûts de transaction élevés, évaluation des options spread. Le chapitre 2 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option call dans le modèle de Bachelier, pour des coûts de transaction proportionnels (modèle de Leland-Lott) et lorsque la fréquence d'intervention devient infinie. Il est prouvé que cette erreur est bornée par une variable aléatoire proportionnelle au taux de transaction. Cependant, les démonstrations de convergence en probabilité demandent des régularités sur les sensibilités assez restrictives en pratique. Les chapitres suivants contournent ces obstacles en étudiant des convergences presque sûres. Le chapitre 3 développe tout d'abord de nouveaux outils de convergence presque sûre. Ces résultats ont de nombreuses conséquences sur le contrôle presque sûr de martingales et de leur variation quadratique, ainsi que de leurs incréments entre deux temps d'arrêt généraux. Ces résultats de convergence trajectorielle sont connus pour être difficiles à obtenir sans information sur les lois. Par la suite, nous appliquons ces résultats à la minimisation presque sûre de la variation quadratique renormalisée de l'erreur de couverture d'une option de payoff général (cadre multidimensionnel, payoff asiatique, lookback) sur une large classe de temps d'intervention. Une borne inférieure à notre critère est trouvée et une suite minimisante de temps d'arrêt optimale est exhibée : il s'agit de temps d'atteinte d'ellipsoïde aléatoire, dépendant du gamma de l'option. Le chapitre 4 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option de payoff convexe (dimension 1) en prenant en compte des coûts de transaction à la Leland-Lott. Nous décomposons l'erreur de couverture en une partie martingale et une partie négligeable, puis nous minimisons la variation quadratique de cette martingale sur une classe de temps d'atteintes générales pour des Deltas vérifiant une certaine EDP non-linéaire sur les dérivées secondes. Nous exhibons aussi une suite de temps d'arrêt atteignant cette borne. Des tests numériques illustrent notre approche par rapport à une série de stratégies connues de la littérature. Le chapitre 5 étend le chapitre 3 en considérant une fonctionnelle des variations discrètes d'ordre Y et de Z de deux processus d'Itô Y et Z à valeurs réelles, la minimisation étant sur une large classe de temps d'arrêt servant au calcul des variations discrètes. Borne inférieure et suite minimisant sont obtenues. Une étude numérique sur les coûts de transaction est faite. Le chapitre 6 étudie la discrétisation d'Euler d'un processus multidimensionnel X dirigé par une semi-martingale d'Itô Y . Nous minimisons sur les temps de la grille de discrétisation un critère quadratique sur l'erreur du schéma. Nous trouvons une borne inférieure et une grille optimale, ne dépendant que des données observables. Le chapitre 7 donne un théorème limite centrale pour des discrétisations d'intégrale stochastique sur des grilles de temps d'atteinte d'ellipsoïdes adaptées quelconque. La corrélation limite est conséquence d'asymptotiques fins sur les problèmes de Dirichlet. Dans le chapitre 8, nous nous intéressons aux formules d'expansion pour les options sur spread, pour des modèles à volatilité locale. La clé de l'approche consiste à conserver la propriété de martingale de la moyenne arithmétique et à exploiter la structure du payoff call. Les tests numériques montrent la pertinence de l'approche.
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