Mathematical and numerical study of plasmonic structures with corners
Étude mathématique et numérique de structures plasmoniques avec coins
Résumé
In this thesis, we investigate the propagation of electromagnetic waves in plasmonic structures, made of a dielectric and a metal. At optical frequencies metals exhibit unusual electromagnetic properties like a negative dielectric permittivity whereas dielectrics have a positive one. This change of sign allows the propagation of surface waves (called surface plasmons) at the metal-dielectric interface. This thesis is focused on the case where the interface presents corners. In the past decade theoretical studies have been carried out, combining results of the T-coercivity approach and the analysis of corner singularities. In particular it has been shown the existence of two states, depending on the parameters of the problem (frequency, material, geometry). The goal of this thesis is to develop, for the 2D case, a stable numerical method adapted to each state, with a specific treatment at the corners. In the first state (where the solutions belong to the function space of "classical energy") we develop meshing rules adapted to the geometry to guarantee the convergence’s optimality of the approximation with the finite element method: we say that the meshes are T-conforming. For the second state (where the solutions are no longer of finite energy), we propose an original numerical method using Perfectly Matched Layers (PMLs) at corners to capture the singularities, called black-hole waves as they carry energy absorded by the corners. These techniques are applied to two physical problems: the diffraction by a plane wave of a polygonal metalic inclusion, and the search of guided modes in a plasmonic waveguide with a polygonal cross-section. For the scattering problem, we prove that the corners of the metalic inclusion can trap some energy carried by the black-hole waves, and we quantify numerically the amount of trapped energy by each corner. Concerning the study of guided modes of a plasmonic waveguide, the problem is a non standard spectral problem. In the presence of black-hole waves, the eigenvalues associated to the guided modes are embedded in the essential spectrum. We use again PMLs at the corners to reveal them. This consists in computing the eigenvalues of an extended operator with a discrete spectrum.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la propagation d’ondes électromagnétiques dans des structures plasmoniques, composées d’un diélectrique et d’un métal. Les métaux exhibent aux fréquences optiques des propriétés électromagnétiques inhabituelles comme une permittivité diélectrique négative, alors que les diélectriques possèdent une permittivité positive. Ce changement de signe de permittivité a pour conséquence la propagation d’ondes de surface (plasmons de surface) à l’interface métal-diélectrique. Cette thèse concerne le cas où cette interface présente des coins. Des études théoriques ont été menées ces dernières années, combinant la méthode de la T-coercivité et l’analyse des singularités de coins. En particulier, il a été mis en évidence l’existence de deux régimes, selon les paramètres du problème (fréquence, matériau, géométrie). L’objectif de cette thèse est de développer, dans le cas bidimensionnel, une méthode numérique stable pour chacun de ces deux régimes, en apportant un traitement spécifique aux coins. Dans le premier régime (où les solutions appartiennent à l’espace "d’énergie classique"), nous développons des règles de maillages adaptées à la géométrie de l’interface pour garantir la convergence optimale des méthodes d’approximation par éléments finis : on parle de maillages T-conformes. Dans le second régime (où les solutions ne sont plus d’énergie finie), nous proposons une méthode numérique originale utilisant des PMLs (Perfectly Matched Layers) aux coins pour capturer les singularités, appelées ondes de trou noir car elles transportent de l’énergie absorbée par les coins. Nous appliquons ces techniques numériques à deux problèmes physiques : la diffraction par une onde plane d’une inclusion métallique polygonale, et la détermination des modes guidés d’un guide d’ondes plasmonique à section polygonale. Pour le problème de diffraction, nous montrons que les coins de l’inclusion métallique peuvent absorber de l’énergie, transportée par les ondes de trou noir, et nous calculons numériquement l’énergie absorbée par chaque coin. L’étude des modes guidés du guide plasmonique quant à elle s’écrit sous la forme d’un problème de théorie spectrale non classique. En présence d’ondes de trou noir, les valeurs propres associées aux modes guidés sont plongées dans le spectre essentiel. Pour les dévoiler, on utilise à nouveau des PMLs aux coins, ce qui revient à calculer les valeurs propres d’un opérateur étendu dont le spectre est discret.
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