Rigid motions on discrete spaces
Déplacements sur des espaces discrets
Résumé
In digital geometry, Euclidean objects are represented by their discrete approximations, e.g. subsets of the lattice of integers. Rigid motions of such sets have to be defined as maps from and onto a given discrete space. One way to design such motions is to combine continuous rigid motions defined on Euclidean space with a digitization operator. However, digitized rigid motions often no longer satisfy properties of their continuous siblings. Indeed, due to digitization, such transformations do not preserve distances, while bijectivity and point connectivity are generally lost. In the context of 2D discrete spaces, we study digitized rigid motions on the lattices of Gaussian and Eisenstein integers. We characterize bijective digitized rigid motions on the integer lattice, and bijective digitized rotations on the regular hexagonal lattice. Also, we compare the information loss induced by non-bijective digitized rigid motions defined on both lattices. Yet, for practical applications, the relevant information is not global bijectivity, but bijectivity of a digitized rigid motion restricted to a given finite subset of a lattice. We propose two algorithms testing that condition for subsets of the integer lattice, and a third algorithm providing optimal angle intervals that preserve this restricted bijectivity. We then focus on digitized rigid motions on 3D integer lattice. First, we study at a local scale geometric and topological defects induced by digitized rigid motions. Such an analysis consists of generating all the images of a finite digital set under digitized rigid motions. This problem amounts to computing an arrangement of hypersurfaces in a 6D parameter space. The dimensionality and degenerate cases make the problem practically unsolvable for state-of-the-art techniques. We propose an ad hoc solution, which mainly relies on parameter uncoupling, and an algorithm for computing sample points of 3D connected components in an arrangement of second degree polynomials. Finally, we focus on the open problem of determining whether a 3D digitized rotation is bijective or not. In our approach, we explore arithmetic properties of Lipschitz quaternions. This leads to an algorithm which answers whether a given digitized rotation—related to a Lipschitz quaternion—is bijective or not
En géométrie discrète, les objets euclidiens sont représentés par leurs approximations discrètes, telles que des sous-ensembles du réseau des points à coordonnées entières. Les déplacements de ces ensembles doivent être définis comme des applications depuis et sur un espace discret donné. Une façon de concevoir de telles transformations est de combiner des déplacements continus définis sur un espace euclidien avec un opérateur de discrétisation. Cependant, les déplacements discrétisés ne satisfont souvent plus les propriétés de leurs équivalents continus. En effet, en raison de la discrétisation, de telles transformations ne préservent pas les distances, et la bijectivité et la connexité entre les points sont généralement perdues. Dans le contexte des espaces discrets 2D, nous étudions des déplacements discrétisés sur les réseaux d'entiers de Gauss et d'Eisenstein. Nous caractérisons les déplacements discrétisés bijectifs sur le réseau carré, et les rotations bijectives discrétisées sur le réseau hexagonal régulier. En outre, nous comparons les pertes d'information induites par des déplacements discrétisés non bijectifs définis sur ces deux réseaux. Toutefois, pour des applications pratiques, l'information pertinente n'est pas la bijectivité globale, mais celle d'un déplacement discrétisé restreint à un sous-ensemble fini donné d'un réseau. Nous proposons deux algorithmes testant cette condition pour les sous-ensembles du réseau entier, ainsi qu'un troisième algorithme fournissant des intervalles d'angles optimaux qui préservent cette bijectivité restreinte. Nous nous concentrons ensuite sur les déplacements discrétisés sur le réseau cubique 3D. Tout d'abord, nous étudions à l'échelle locale des défauts géométriques et topologiques induits par des déplacements discrétisés. Une telle analyse consiste à générer toutes les images d'un ensemble du réseau fini sous des déplacements discrétisés. Un tel problème revient à calculer un arrangement d'hypersurfaces dans un espace de paramètres de dimension six. La dimensionnalité et les cas dégénérés rendent le problème insoluble, en pratique, par les techniques usuelles. Nous proposons une solution ad hoc reposant sur un découplage des paramètres, et un algorithme pour calculer des points d'échantillonnage de composantes connexes 3D dans un arrangement de polynômes du second degré. Enfin, nous nous concentrons sur le problème ouvert de déterminer si une rotation discrétisée 3D est bijective ou non. Dans notre approche, nous explorons les propriétés arithmétiques des quaternions de Lipschitz. Ceci conduit à un algorithme qui détermine si une rotation discrétisée donnée, associée à un quaternion de Lipschitz, est bijective ou non
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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