Multistage stochastic optimization and polyhedral geometry
Optimisation stochastique multi-étapes et géométrie polyédrale
Résumé
In this manuscript we study how the tools from polyhedral geometry enlighten the structure ofmultistage stochastic programming. More precisely, when the arbitrary random variables of aMultistage Stochastic Linear Problem (MSLP) can be replaced by finitely supported randomvariables without changing the value functions, we say that there exists an exact quantization.We call an exact quantization local if it applies at a particular state, uniform if it does notdepend on the state and universal if it is independent of the noise distribution.Our aim is to provide conditions to obtain local or uniform, universal exact quantization ofMSLP, and algorithms exploiting these conditions.Through the notion of normal fans, we show a local and uniform exact quantization for2-stage linear problems (2SLP) whose cost has a non necessarily finite distribution, which thenprovides a universal and uniform exact quantization thanks to the property of normal equivalenceon a chamber complex. By constructing, through dynamic programming, universal chambercomplexes, where the expected cost-to-go function is piecewise affine, we prove a uniform anduniversal exact quantization for MSLP with general cost distributions. Further, we give a dualinterpretation of this result by defining new objects which extend of the notion of fiber polytopeto general distributions. These quantizations allow us to derive new complexity results for MSLPshowing that with fixed parameters, MSLP becomes polynomial for every regular distribution.We then focus on 2SLP with generally distributed matrix and right-hand side constraints.Thanks to a local exact quantization, we extend the scope of Adaptive Partition-based meth-ods (APM) by providing a geometric oracle to obtain an adapted partition. We also providenecessary and sufficient conditions of correcteness of APM, as well as convergence speed result.Finally, we introduce a class of algorithms, called Trajectory Following Dynamic Program-ming (TFDP) algorithms, that iteratively refines approximations of expected cost-to-go func-tions of multistage stochastic problems with independent random variables. This frameworkencompasses most variants of the Stochastic Dual Dynamic Programming algorithm. Leverag-ing a Lipschitz assumption on the expected cost-to-go functions, we provide a new convergenceand complexity proof that allows random variables with non-finitely supported distributions. Inparticular, this leads to new complexity results for numerous known algorithms.
Dans cette thèse, nous utilisons les outils de la géométrie polyédrale pour appréhender la struc-ture de problèmes stochastiques. Plus précisément, lorsque les variables aléatoires de problèmesstochastiques linéaires multiétapes (MSLP) peuvent être remplacées par des variables aléatoiresà support fini sans changer les fonctions valeurs, on parle de discrétisation exacte. On qualifieune discrétisation exacte de locale si elle s’applique à un point particulier de l’espace d’état,d’uniforme si elle ne dépend pas de l’état et d’universelle si elle est indépendente de la distribu-tion.Notre but est de donner des conditions pour obtenir des discrétisations exactes universelles,locale ou uniforme.Grâce à la notion d’éventail normal, nous établissons une discrétisation exacte locale etuniverselle pour les problèmes stochastiques linéaires à 2 étapes (2SLP), qui permet ensuited’obtenir une discrétisation exacte, uniforme et universelle, à l’aide de l’équivalence normaledes fibres du polyèdre couplant sur les cellules d’un certain complexe polyédral appelé chambercomplex. En construisant par programmation dynamique, des complexes polyédraux universels,où la fonction des coûts futurs espérés est affine par morceaux, nous prouvons une discrétisationexacte uniforme et universelle pour les MSLP avec distribution de coût générale. De plus, nousdonnons une interprétation duale à l’aide d’une généralisation du polyèdre de fibres pondéréadapté au 2SLP que l’on étend aux MSLP au moyen de polyèdres de fibres imbriqués. Cesdiscrétisations nous permettent alors de déduire des résultats de complexité pour les MSLP enmontrant qu’ils deviennent résolubles en temps polynomial pour toute distribution régulière,lorsque certains paramètres sont fixés.Nous nous intéressons ensuite aux 2SLP dont la matrice et le second membre des contraintesont des distributions générales. Grâce à une discrétisation exacte et locale, nous étendons laportée des méthodes de partitions adaptatives (APM) en donnant un oracle géométrique pourobtenir une partition adaptée, c’est à dire fournissant une discrétisation exacte locale. Nousdonnons également une condition nécessaire et suffisante pour la correction des algorithmesAPM, ainsi que des bornes de complexité.Enfin, nous introduisons une classe d’algorithmes, appelée Programmation Dynamique parSuivi de Trajectoire, Trajectory Following Dynamic Programming en anglais, qui affine succes-sivement des approximations des fonctions des coûts futurs espérés d’un problème stochastiquemulti-étapes avec des variables aléatoires indépendantes. Ce cadre algorithmique englobe la plu-part des variantes de l’algorithme Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP). En supposantle caractère Lipschitz de la fonction valeur, nous donnons une nouvelle preuve de convergenceet de complexité qui autorise les variables aléatoires avec des supports infinis. En particulier,nous en déduisons des nouveaux résultats de complexité pour plusieurs algorithmes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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