Integro-differential evolution equations: numerical methods and applications in finance.
Equations integro-differentielles d'évolution: méthodes numériques et applications en finance.
Résumé
This thesis deals with option pricing in exponential Lévy models. We establish the relationship between option prices in such models and partial integro-differential equations (PIDE). This allows us to construct efficient numerical methods for option pricing. First, we study the regularity of European (vanilla or barrier) option prices. In particular, we show on several examples that this regularity may fail. In this case, option prices must be considered as generalized solutions of the PIDEs. More precisely, we prove that European option prices, with or without barriers, are viscosity solutions of the corresponding integro-differential problems. Next, we propose two semi-implicit finite difference schemes for numerical solution of the PIDEs. We study their consistency, stability, and convergence to the viscosity solution of the equation. We also estimate the convergence rate. The last part of the thesis is devoted to numerical tests and comparison of the efficiency of the two schemes proposed.
Cette thèse porte sur le problème d'évaluation d'options dans les modèles basés sur les processus de Lévy. Nous établissons le lien entre les prix d'options dans ces modèles et des équations intégro-différentielles (EID). Ce lien nous permet de construire des méthodes numériques efficaces d'évaluation d'options. Nous étudions d'abord la régularité des prix des options européennes (standards ou avec barrières). En particulier, nous mettons en évidence à travers plusieurs exemples l'absence possible de cette régularité. Dans ce cas, les prix d'options doivent être considérés comme des solutions généralisées des EID. Plus précisément, nous montrons que les prix des options européennes, avec ou sans barrières, sont des solutions de viscosité des problèmes intégro-différentiels correspondants. Nous proposons ensuite deux schémas semi-implicites aux différences finies pour la résolution numérique des EID. Nous étudions leurs consistance, stabilité et convergence vers la solution de viscosité de l'équation. Nous proposons également des estimations de la vitesse de cette convergence. Enfin, la dernière partie de la thèse est consacrée aux tests numériques des méthodes proposées et la comparaison de l'efficacité des deux schémas.
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