Modélisation mathématique et simulation de TCP par des méthodes de champ moyen. - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Access content directly
Theses Year : 2006

Modélisation mathématique et simulation de TCP par des méthodes de champ moyen.

Abstract

The dramatic spread of the Internet all around us marked the world forever. Is has now become possible to send and receive an almost infinite amount of data to and from anywhere in the world. Not only does this change the way we communicate, it also has a considerable impact on our perception of the world we live in. The Internet revolution is partly due to data transport, often via TCP. The optimization of the information highway is one of the most exciting challenges for the Internet architects. The two introduction chapters of this PhD thesis straightforwardly explain TCP and the related works in the mean field approach. We focus on TCP New-Reno and some particular problems TCP-networks face. Our angle on the issue will mainly be bottleneck congestion. The first part deals with the mathematics of the mean field we develop. First we show a very simple example of what a mean field is, then we develop some theoretical enhancements to finish with the proof of Baccelli-Hong's model for TCP. The second part endeavors to explain our mathematical mean field model to study large TCP controlled population sharing a common resource, namely the bandwidth of some internet access router. We make some simplifying assumptions such as fluid behavior or Little's formula for the window-bandwidth relationship. The evolution of the histogram of the connection window sizes is approximated by a deterministic partial differential equation. From a technical point of view, we can furnish QOS estimations. From a mathematical point of view, compared to the traditional tightness-limit-unicity mean field method, the auxiliary system-coupling methodology that we use offers certain advantages. It is more intuitive and allows us to solve the delay problem which otherwise would be difficult to handle. We then adapt the model to the HTTP case with on-off sources. The third part of the thesis focus on showing practical results we obtain by simulating mean field equations. We first validate the mean field model against discrete event simulators and the N-particle system from which is extracted for large N, then show how such a model is different from (ie. better than) other simpler models. We conclude by simulating the equations which arise from the models which exhibit some interesting congestion behavior.
Avec l'avènement d'Internet, le monde est entré dans une ère nouvelle. Celle d'un partage quasiment sans limite de l'information. Ce n'est pas seulement un medium de communication nouveau qui est apparu, mais bien aussi un changement dans la façon de vivre de chacun. L'un des aspects de cette révolution est le transport effectué par le réseau utilisant souvent le protocole TCP. Aujourd'hui encore les usages sont parfois limités par les débits disponibles. La nouvelle génération d'Internet, peut-être issue des recherches sur Internet 2, offrira des possibilités sans doute encore plus étonnantes. Ce mémoire porte sur l'étude du partage de bande passante par TCP. Elle commence par deux chapitre introductifs sur TCP (chapitre 1) et ses modèles mathématiques (chapitre 2) qui conduisent à trois parties. La première partie est très mathématique, partant d'un exemple très simple au chapitre 3 sur des tirages avec ou sans remise d'une urne, elle montre ensuite comment généraliser la méthode de champ moyen de «lookdown process» à des trajectoires avec des dynamiques complexes à travers trois chapitres ; le chapitre 4 pose le problème d'utilisateurs qui interagissent à travers une ressource partagée par l'intermédiaire de sauts poissonniens ; le chapitre 5 développe une méthode inspirée du «lookdown process» pour résoudre ce premier problème ; enfin, le chapitre 6 propose une généralisation où l'interaction se fait par des sauts à intensités mais aussi par des sauts synchrones. La deuxième partie présente un travail joint avec David McDonald et François Baccelli sur la modélisation de TCP dans le cas de téléchargements de longue durée et une généralisation pour tenir compte d'utilisateurs non persistants. Le chapitre 8 présente le modèle utilisé, il s'agit d'étudier un grand nombre d'utilisateurs qui partagent une ressource commune qui est la bande passante. Ces utilisateurs se servent du protocole TCP sous un certain nombre d'hypothèses simplificatrices (modèle fluide, nombre d'utilisateurs constant avec le temps). Le chapitre 9 poursuit en proposant la démonstration de la convergence en champ moyen : lorsque le nombre d'utilisateurs qui partagent une ressource rare devient grand, les équations des files d'attentes/débits au routeur deviennent des équations aux dérivées partielles déterministes. L'étude mathématique de ces équations de transport est l'objet du chapitre 10. Elles y sont établies, simplifiées et étudiées. En particulier, on y voit une étude de la stabilité d'une file d'attente sous certains contrôles centralisés comme RED. Cette partie s'achève avec le chapitre 11 qui propose une généralisation du modèle pour prendre en compte les utilisateurs du protocole HTTP sur TCP. La troisième partie est dédiée aux simulations. Le chapitre 12 montre certains aspects de la conception du simulateur des équations aux dérivées partielles des utilisateurs de TCP persistants et de leur généralisation à HTTP. Le simulateur est ensuite validé expérimentalement puis nous discutons des principales améliorations qu'il faudrait apporter au simulateur et au modèle. Enfin le chapitre 13 propose deux exemples d'utilisations du simulateur, le premier illustre le problème de la congestion pour les utilisateurs de HTTP en insistant sur le fait que le problème est plus grave qu'on pourrait s'y attendre ; le second présente un effet de turbulence mathématique pour HTTP/TCP, c'est à dire que dans certaines conditions, nous trouvons deux états limites, un où le débit est constant et un état oscillatoire où le débit moyen est moindre.
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Dates and versions

pastel-00002032 , version 1 (28-07-2010)

Identifiers

  • HAL Id : pastel-00002032 , version 1

Cite

Julien Reynier. Modélisation mathématique et simulation de TCP par des méthodes de champ moyen.. Modélisation et simulation. Ecole Polytechnique X, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00002032⟩
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