Partial differential equations in finance: inverse problems and models calibration.
Equations aux dérivées partielles en finance : problèmes inverses et calibration de modèle.
Résumé
In the first part of this thesis, we studied the impact on prices of options volatility estimation errors. In diffusion models used ennance, a diffusion coefficient fonctinnelle (:,:) modeled the volatility of an asset Financial. This coefficient is estimated from observations has thus tainting of statistical errors.This leads to a problem of transition to the limit (homogenization) in parabolic equations with coefficients random. In this work we obtained estimates of the speed of local convergence on the solution of a PDE parabolic random coefficients, when the diffusion coefficient is a field random converging to a limit function. This result allows to study the im- pact on prices of options volatility estimation errors into different cases degures. This method is applied to evaluate the uncertainty on the options has Barrier-diffusion models when the volatility reconstructs the Dupire formula from data on discrete option prices. The second part of this thesis concerns the study of inverse problems for certain class of evolution equations int? Egro-differential occurring in the study Evaluation models bases on Levy processes. We studied an approach to these inverse problems by Tikhonov regularization. This approach allows stably to reconstruct the parameters of a Markov model with a jump from the observation of a number or options. Chapter 4 discusses the theoretical foundations of this approach and proposes a parametrization Levy measures by the square root of the density, thereby reducing the problem in a Hilbert space. The Tikhonov regularization is proposed to minimize the squared deviation from the observed price? are more a Hilbert norm parameters. Results of existence, stability and convergence of the regularized solution of the problem are then obtained under fairly general assumptions of, additional hypotheses (source conditions) can obtain an estimate of the speed of convergence. The choice of the regularization parameter, delicate subject, the subject of a detailed discussion. Chapter 5 provides a numerical algorithm for calculating the regularized solution of the problem and study of the Performance of this algorithm in different models with jumps. The algorithm is based on the use of a gradient algorithm for minimizing the regularized functional: the gradient is computed by solving an integrodifferential equation with source term (equation Assistant). This work generalizes those of Lagnado & Osher, and Egger & Crépey Engl case of integrodifferential equations. The numerical tests show that this algorithm allows to build a stably Levy process has a set of class
Dans la premiere partie de cette these, on a etudie l'impact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite. Dans les modeles de diffusion utilises ennance, un coefficient de diffusion fonctinnelle (:; :) modelise la volatilite d'un actif financier. Ce coefficient est estime a partir d'observations donc entache d'erreurs statistiques. L'objectif est de voir l'impact de ces erreurs sur le calcul de prix d'options, qui sont solutions d'EDP paraboliques dont l'estimateur (:; :) est le coefficient de diffusion. Cela debouche sur un probleme de passage a la limite (homogeneisation) dans des equations paraboliques a coefficients aleatoires. Dans ce travail on a obtenu des estimations de la vitesse de convergence locale sur la solution d'une EDP parabolique a coefficients aleatoire, lorsque le coefficient de diffusion est un champ aleatoire convergeant vers une fonction limite. Ce resultat permet d'etudier l'im- pact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite dans differents cas degures. Cette methode est appliquee pour evaluer l'incertitude sur les options a barrieres dans un modele de diffusion lorsqu'on reconstitue la volatilite par la formule de Dupire a partir des donnees discretes sur les prix d'options. La deuxieme partie de cette these concerne l'etude de problemes inverses pour certaine classe d'equations d'evolution integro-differentielles survenant dans l'etude des modeles d'evaluation bases sur les processus de Levy. On a etudie une approche de ces problemes inverses par regularisation de Tikhonov. Cette approche permet de reconstruire de facon stable les parametres d'un modele markovien avec sauts a partir de l'observation d'un nombre ni d'options. Le chapitre 4 pose les bases theoriques de cette approche et propose une parametrisation des mesures de Levy par la racine carree de la densite, ce qui permet de ramener le probleme dans un cadre hilbertien. La regularisation de Tikhonov proposee consiste a minimiser l'ecart quadratique par rapport aux prix observ es plus une norme hilbertienne des parametres. Des resultats d'existence, de stabilite et de convergence de la solution du probleme regularise sont alors obtenus sous de hypotheses assez generales ; des hypotheses supplementaires (conditions de source) permettent d'obtenir une estimation de la vitesse de convergence. Le choix du parametre de regularisation, sujet delicat, fait l'objet d'une discussion detaillee. Le chapitre 5 propose un algorithme numerique pour le calcul de la solution du probleme regularise et l'etude du performance de cet algorithme dans differents modeles avec sauts. L'algorithme est base sur l'emploi d'un algorithme de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle regularisee : le gradient est calcule en resolvant une equation integrodifferentielle avec terme source (equation adjointe). Ce travail generalise ceux de Lagnado&Osher, Crepey et Egger & Engl au cas des equations integrodifferentielles. Les tests numeriques montrent que cet algorithme permet de construire de facon stable un processus de Levy calibre a un ensemble de