Generalised Burgers equation with random force and small viscosity
Equation de Burgers g en eralis ée a force al éatoire et a viscosit é petite
Résumé
This Ph.D. thesis is concerned with studying solutions u of a generalised Burgers equation on the circle: u_t+f'(u)u_x=\nu u_{xx}+\eta,\ x \in S^1=\R/\Z. Here, $f$ is smooth, strongly convex, and satisfies some growth conditions. The constant 0<\nu << 1 corresponds to a viscosity coefficient. We will consider both the case \eta=0 and the case when \eta is a random force which is smooth in x and irregular ("kick" or white noise) in t. We obtain sharp bounds for Sobolev norms of u averaged in time and in ensemble of the type C \nu^{-\delta}, \delta >= 0, with the same value of \delta for upper and lower bounds. These results yield sharp bounds for small-scale quantities characterising turbulence, which confirm physical predictions. We are also concerned with the asymptotic behaviour of solutions: we prove hyperbolicity of minimizers for the action corresponding to the stochastic Hamilton-Jacobi equation, whose space derivative is the stochastic Burgers equation with \nu=0.
Cette thèse traite du comportement des solutions u de l'équation de Burgers généralisée sur le cercle: u_t+f'(u)u_x=\nu u_{xx}+\eta,\ x \in S^1=\R/\Z. Ici, f est lisse, fortement convexe et satisfait certaines conditions de croissance. La constante 0<\nu << 1 correspond à un coefficient de viscosité. Nous considérons le cas où \eta=0, ainsi que le cas où \eta est une force aléatoire, lisse en x et peu régulière (de type "kick" ou bruit blanc) en t. Nous obtenons des estimations sur les normes de Sobolev de u moyennées en temps et en probabilité de la forme C \nu^{-\delta}, \delta >= 0, avec les mêmes valeurs de \delta pour les bornes supérieures et inférieures. On en déduit des estimations précises pour les quantités à petite échelle caractérisant la turbulence qui confirment exactement les prédictions physiques. Nous nous intéressons également au comportement asymptotique des solutions. Nous obtenons un résultat d'hyperbolicité des minimiseurs pour l'action correspondant à l'équation de Hamilton-Jacobi stochastique, dont la dérivée en espace est l'équation de Burgers stochastique avec \nu=0.
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