Formalized algebraic numbers: construction and first-order theory.
Formalisation des nombres algébriques : construction et théorie du premier ordre.
Résumé
This thesis presents a formalization of algebraic numbers and their theory. It brings two new important contributions to the formalization of mathematical results in proof assistants, Coq in our case: the intuitionistic construction of real algebraic numbers together with the proof they form a real closed field, and the programming and certification of quantifier elimination procedures for the theories of algebraically closed fields and real closed fields. In order to reach those results, we brought multiple contributions to the toolboxes and formalization and proof methodologies in Coq. More particularly, we provide in Coq/SSReflect a framework to work with quotient types. We provide a complete library about ordered and normed number algebraic structures. We wrote a short implementation of Cauchy reals together with tactics to deal easily with reasoning using assertions of the form "let n be a big enough number", commonly used in mathematical paper proofs. We also developed a short library of real polynomial analysis. A big part of our contributions is useful for the formalization of the proof of Odd Order Theorem and they also aim at helping to prove and certify more efficient quantifier elimination procedures on reals.
Cette thèse présente une formalisation des nombres algébriques et de leur théorie. Elle apporte deux nouvelles contributions importantes à la formalisation de résultats mathématiques dans des assistants à la preuve, ici Coq : la construction intuitionniste des nombres algébriques réels et la preuve qu'ils constituent un corps réel clos, ainsi que la programmation et la certification de procédures d'élimination des quantificateurs pour les théories des corps algébriquement clos et des corps réels clos. Pour atteindre ces résultats, nous avons apporté des contributions aux outils et aux méthodologies de preuves et de formalisation des mathématiques en Coq. En particulier, nous fournissons pour Coq/SSReflect un cadre pour travailler avec des types quotients. Nous fournissons une bibliothèque complète sur les structures algébriques de nombres ordonnés et normés. Nous avons réalisé une courte implémentation des réels de Cauchy accompagnée de tactiques pour effectuer facilement des raisonnements comportant des affirmations de la forme "soit n un entier suffisamment grand", couramment utilisés dans les preuves mathématiques sur papier. Nous avons également développé une petite bibliothèque d'analyse de base sur les polynômes à coefficients dans un corps réel clos. Une grande partie de nos résultats s'intègrent dans la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson et ont aussi pour objectif d'aider à certifier des procédures plus efficace d'élimination des quantificateurs sur les réels.
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