A finite elements method to solve the Bloch-Torrey equation applied to diffusion magnetic resonance imaging of biological tissues
Une méthode d'éléments finis pour résoudre l'équation de Bloch-Torrey appliquée à l'imagerie par résonance magnétique de diffusion dans des tissus biologiques
Résumé
Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is a non-invasive imaging technique that gives a measure of the diffusion characteristics of water in biological tissues, notably, in the brain. The hindrances that the microscopic cellular structure poses to water diffusion are statistically aggregated into the measurable macroscopic dMRI signal. Inferring the microscopic structure of the tissue from the dMRI signal allows one to detect pathological regions and to monitor functional properties of the brain. For this purpose, one needs a clearer understanding of the relation between the tissue microstructure and the dMRI signal. This requires novel numerical tools capable of simulating the dMRI signal arising from complex microscopic geometrical models of tissues. We propose such a numerical method based on linear finite elements that allows for a more accurate description of complex geometries. The finite elements discretization is coupled to the adaptive Runge-Kutta Chebyshev time stepping method. This method, which leads to the second order convergence in both time and space, is implemented on FeniCS C++ platform. We also use the mesh generator Salome to work efficiently with multiple-compartment and periodic geometries. Four applications of the method for studying the dMRI signal inside multi-compartment models are considered. In the first application, we investigate the long-time asymptotic behavior of the dMRI signal and show the convergence of the apparent diffusion coefficient to the effective diffusion tensor computed by homogenization. The second application aims to numerically verify that a two-compartment model of cells accurately approximates the three-compartment model, in which the interior cellular compartment and the extracellular space are separated by a finite thickness membrane compartment. The third application consists in validating the macroscopic Karger model of dMRI signals that takes into account compartmental exchange. The last application focuses on the dMRI signal arising from isolated neurons. We propose an efficient one-dimensional model for accurately computing the dMRI signal inside neurite networks in which the neurites may have different radii. We also test the validity of a semi-analytical expression for the dMRI signal arising from neurite networks.
L'imagerie de résonance magnétique de diffusion (IRMD) est une technique d'imagerie non-invasive qui donne l'accès aux caractéristiques de diffusion de l'eau dans des tissus biologiques, notamment, dans le cerveau. Les restrictions que la structure cellulaire microscopique impose à la diffusion des molécules d'eau, sont agrégées statistiquement dans un mesurable signal d'IRMD macroscopique. L'inférence de la structure microscopique du tissu à partir du signal d'IRMD permet de détecter des régions pathologiques et d'observer les propriétés fonctionnelles du cerveau. A cet effet, il est important de mieux comprendre la relation entre la microstructure du tissu et le signal d'IRMD ce qui nécessite des nouvelles outils numériques capable de faire les calculs dans des géométries complexes modèles des tissus. Nous proposons une telle méthode numérique basée sur les éléments finis linéaires ce qui permet de décrire précisément des géométries complexes. La discrétisation par des éléments finis est couplée à la méthode adaptative des pas de temps de Runge-Kutta Chebyshev. Cette méthode qui assure la convergence du second ordre à la fois en temps et en espace, est implémentée sous la plateforme FeniCS C++. Nous utilisons aussi le générateur de maillage Salome pour travailler de manière efficace avec des géométries périodiques à plusieurs compartiments. Nous considérons quatre applications de la méthode pour étudier la diffusion dans des modèles à plusieurs compartiments. Dans la première application, nous étudions le comportement au temps long et démontrons la convergence d'un coefficient de diffusion apparent vers un tenseur de diffusion effectif obtenu par l'homogénéisation. La deuxième application vise à vérifier numériquement qu'un modèle à deux compartiments permet d'approximer le modèle à trois compartiments dans lequel le compartiment cellulaire et le compartiment extra-cellulaire sont complétés par un compartiment membranaire. La troisième application consiste à valider le modèle de Karger du signal d'IMRD macroscopique qui prend en compte l'échange entre compartiments. La dernière application se focalise sur le signal d'IMRD issu des neurones isoles. Nous proposons un modèle efficace unidimensionnel pour calculer le signal d'IRMD de manière précise dans un réseau des neurites de rayons variés. Nous testons la validité d'une expression semi-analytique du signal d'IRMD issu des réseaux de neurites.
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