Grandes déviations pour des équations de Schrödinger non linéaires stochastiques et applications - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Access content directly
Theses Year : 2005

Large deviations for stochastic nonlinear Schrödinger equations and applications

Grandes déviations pour des équations de Schrödinger non linéaires stochastiques et applications

Abstract

This thesis is dedicated to the study of the small noise asymptotic in random perturbations of nonlinear Schrödinger equations. The noises are Gaussian, mostly white in time and always colored in space, of additive and multiplicative types. Large deviations are such that the behavior of the stochastic system differs significantly from the deterministic one. As the noise goes to zero the probability of such rare events goes to zero on a logarithmic scale with speed given by the noise amplitude. We prove large deviation principles at the level of paths. The rate of convergence to zero of the logarithm of the probabilities is related to an optimal control problem. Our first application is to the blow-up times. We then apply our results to the study of the small noise asymptotic of the tails of the mass and position of the soliton-like pulse in a "white noise limit". The fluctuations of these quantities are the main causes of error in optical soliton transmission. We also consider the problem of the mean exit times and the exit points from a neighborhood of zero for weakly damped equations. Finally we present large deviations and support theorem for fractional additive Gaussian noises.
Dans cette thèse nous étudions l'asymptotique de petits bruits pour des perturbations aléatoires d'équations de Schrödinger non linéaires. Les bruits sont Gaussiens, la plupart du temps blancs en temps et toujours colorés en espace, additifs ou multiplicatifs. Un évènement de grandes déviations est un évènement où le système diffère significativement du système déterministe. Lorsque le bruit tend vers zéro, la probabilité d'un tel évènement rare tend vers zéro sur une échelle logarithmique avec pour vitesse l'amplitude du bruit. Nous prouvons des principes de grandes d´eviations trajectoriels. Dans ce cas le facteur multiplicatif de la vitesse, le taux, est relié à un problème de contrôle optimal. Les résultats sont appliqués aux temps d'explosion. Nous étudions ensuite l'asymptotique de petits bruits des queues de la masse et de la position du signal dans une "limite bruit blanc". Les fluctuations de ces quantités sont les causes principales d'erreur de transmission par solitons dans les fibres optiques. Nous considérons également le problème des temps moyens et des points de sortie d'un voisinage de zéro pour des équations faiblement amorties. Enfin, nous présentons un principe de grandes déviations et un théorème de support pour des bruits Gaussiens fractionnaires additifs.
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Dates and versions

tel-00011274 , version 1 (01-01-2006)

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  • HAL Id : tel-00011274 , version 1

Cite

Eric Gautier. Grandes déviations pour des équations de Schrödinger non linéaires stochastiques et applications. Mathématiques [math]. ENSAE ParisTech, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011274⟩
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