Periods of rational integrals : algorithms and applications
Périodes d'intégrales rationnelles : algorithmes et applications
Résumé
A period of rational integral is the result of integrating, with respect to one or several variables, a rational function along a closed path. When the period under consideration depends on a parameter, it satisfies a specific linear differential equation called Picard-Fuchs equation. These equations and their computation are important for computer algebra, but also for algebraic geometry (they contains geometric invariants), in combinatorics (many generating functions are periods) or in theoretical physics. This thesis offers and studies algorithms to compute them.The first chapter shows bounds on the size of Picard-Fuchs equations and on the complexity of their computation. Existing algorithms for computing these equations often produce, in the same time, certificates, typically huge, which allows to check afterwards the correctness of the equation. The bounds I obtained enlighten the computational nature of Picard-Fuchs equations, they show in particular that the certificates are not a required byproduct. The proof relies on the study of the generic case and the reduction of pole order with Griffiths-Dwork method.The second chapter offers an algorithms for computing Picard-Fuchs equations more efficiently. It allows for the resolution of many previously unsolved problems. It relies on a method for reducing the pole order which extends Griffiths-Dwork reduction to the singulars cases.The third chapter draws a rigorous correspondence between periods of rational integrals and generating functions of multiple binomial sums. Together with the computation of Picard-Fuchs equations, it allows automatically proving identities about binomial sums.
Une période d'intégrale rationnelle est le résultat de l'intégration, par rapport à une ou plusieurs variables, d'une fraction rationnelle le long d'un chemin fermé. Quand la période considérée dépend d'un paramètre, elle est solution d'une équation différentielle linéaire particulière, appelée équation de Picard-Fuchs. Ces équations et leur calcul effectif ont un rôle important en calcul formel mais aussi en géométrie algébrique (elles renferment des invariants géométriques), en combinatoire (de nombreuses séries génératrices sont des périodes) ou en physique théorique. Cette thèse propose et étudie des algorithmes pour les calculer.Le premier chapitre démontre des bornes sur la taille des équations de Picard-Fuchs et sur la complexité de leur calcul. Certains algorithmes calculant ces équations produisent en même temps des certificats, souvent immenses, qui permettent de vérifier après coup la validité de l'équation. Les bornes obtenues éclairent la nature calculatoire des équations de Picard-Fuchs et montrent en particulier que les certificats ne sont pas des sous-produits nécessaires. La démonstration repose sur l'étude du cas générique et sur la réduction de l'ordre du pôle par la méthode de Griffiths-Dwork.Le deuxième chapitre propose un algorithme pour calculer les équations de Picard-Fuchs, visant l'efficacité pratique plutôt que la maitrise de la complexité. Il permet le calcul de nombreuses intégrales jusque-là non résolues. Il repose sur une méthode de réduction de l'ordre du pôle étendant celle de Griffiths-Dwork et adaptée aux cas singuliers.Le troisième chapitre établit précisément une correspondance entre les périodes d'intégrales rationnelles et les séries génératrices des sommes binomiales, un certain type de sommes discrètes. Combiné avec le calcul des équations de Picard-Fuchs, cela donne une algorithmique souple et efficace pour le calcul des sommes binomiales et la preuve automatique d'identités.
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