Curve-and-Surface Evolutions for Image Processing
Évolutions de courbes et surfaces pour le traitement d'images.
Résumé
The goal of this manuscript was to study several problems which appear in image processing and which involves hypersurfaces of the Euclidian space R^n. Denoising a image basically consists in smoothing its lines. This smoothing can appear either as a minimizer of a suitable functional or results from a regularizing flow on the level sets of the image. In this thesis, we study two examples of these approaches.
In the first chapter, we smooth by minimization. More precisely, we work on generalizations of the procedure suggested by Rudin Osher and Fatemi, which penalizes the total variation. We prove that under different assumptions on the domain, on the way to link the image to the data and on the choice of the total variation (isotropic, anisotropic,...), the continuity of the source image is preserved by the minimizing procedure.
In Chapter 2, we study Mean curvature flow and add some obstacles which constraint the evolution. We choose the level-set approach: the surface is the preimage of 0 by a function which therefore satisfies a PDE. We prove existence and uniqueness of a (viscosity) solution for this equation. and study its asymptotic in time using comparison with a discrete minimizing scheme.
In Chapter 3 (with M. Novaga), we add some information to the result of Chapter 2 by focusing on the geometric formulation of the mean curvature flow with obstacles. We follow the approach by Ecker and Huisken to show that there exists a unique solution of the motion in short times.
Finally, in the last chapter (with M. Novaga and P. Pozzi), we make a first step towards the understanding of crystalline motion. Restricted to the planar framework, we show (using an approximation by a smooth motion) that there exists a short time of existence for an anisotropic curvature motion of an immersed curve.
L'objectif de cette thèse a été d'étudier différents problèmes apparaissant naturellement en traitement d'images et mettant en jeu des hypersurfaces de l'espace euclidien à n dimensions. Débruiter une image consiste essentiellement à en lisser les lignes. Ce lissage peut apparaître soit comme le résultat d'une minimisation d'une fonctionnelle, soit comme l'application d'un flot régularisant sur les lignes de l'image. Dans ce manuscrit, nous étudions deux exemples de ces deux approches.
Dans le chapitre 1, on lisse par minimisation et on s'intéresse à la régularité de la solution. Plus précisément, on travaille sur des généralisations de la minimisation proposée par Rudin, Osher et Fatemi qui pénalise la variation totale. On cherche à montrer que sous différentes hypothèses sur le domaine, les conditions d'attaches aux données ainsi que le choix de la variation totale (isotrope, anisotrope,...), la continuité de l'image observée se transmet forcément au minimiseur, ce qui montre que le débruitage par minimisation ne vas pas faire apparaître de discontinuité non observée.
Dans le capitre 2, on étudie le flot par courbure moyenne (éventuellement anisotrope), qui est connu pour avoir un effet régularisant cite{alvarez93}. On y ajoute des obstacles. L'approche choisie est celle des lignes de niveau : la surface est l'image réciproque de 0 par une fonction qu'on fait évoluer. On démontre existence et unicité d'une fonction solution (de viscosité) de l'équation du mouvement par ligne de niveau et on étudie son asymptotique en temps en la comparant à un mouvement minimisant discret.
Dans le chapitre 3 (travail en collaboration avec M. Novaga), on précise le résultat du chapitre 2 en étudiant le même problème mais sous forme géométrique (ce qui est nettement plus précis que l'approche ligne de niveau). On suit l'approche de Ecker et Huisken pour montrer qu'il existe une unique solution au mouvement par courbure moyenne avec obstacles en temps court.
Enfin, dans le dernier chapitre (travail en collaboration avec M. Novaga et P. Pozzi), on fait un premier pas vers l'étude géométrique du mouvement anisotrope (on pourra en particulier traiter les anisotropies cristallines). Uniquement restreints à la dimension deux, on montre, en l'approchant par un mouvement lisse, l'existence d'un mouvement par courbure anisotrope d'une courbe immergée pour un temps petit.
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