Branching processes for structured populations and estimators for cell division
Processus de branchement pour des populations structurées et estimateurs pour la division cellulaire
Résumé
We study structured populations without interactions from a probabilistic and a statistical point of view. The underlying motivation of this work is the understanding of cell division mechanisms and of cell aging. We use the formalism of branching measure-valued Markov processes. In our model, each individual is characterized by a trait (age, size, etc...) which moves according to a Markov process. The rate of division of each individual is a function of its trait and when a branching event occurs, the trait of the descendants at birth depends on the trait of the mother and on the number of descendants. First, we study the trait of a uniformly sampled individual in the population. We explicitly describe the penalized Markov process, named auxiliary process, corresponding to the dynamic of the trait of a "typical" individual by giving its associated infinitesimal generator. Then, we study the asymptotic behavior of the empirical measure associated with the branching process. Under assumptions assuring the ergodicity of the auxiliary process, we prove that the auxiliary process asymptotically corresponds to the trait along its ancestral lineage of a uniformly sampled individual in the population. Finally, we address the problem of parameter estimation in the case of a branching process structured by a diffusion. We consider data composed of the trait at birth of all individuals in the population until a given generation. We give kernel estimators for the transition density and the invariant measure of the chain corresponding to the trait of an individual along a lineage. Moreover, in the case of a reflected diffusion on a compact set, we use maximum likelihood estimation to reconstruct the division rate. We prove consistency and asymptotic normality for this estimator. We also carry out the numerical implementation of the estimator.
Cette thèse porte sur l'étude probabiliste et statistique de populations sans interactions structurées par un trait. Elle est motivée par la compréhension des mécanismes de division et de vieillissement cellulaire. On modélise la dynamique de ces populations à l'aide d'un processus de Markov branchant à valeurs mesures. Chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (l'âge, la taille, etc...) dont la dynamique au cours du temps suit un processus de Markov. Ce trait détermine le cycle de vie de chaque individu : sa durée de vie, son nombre de descendants et le trait à la naissance de ses descendants. Dans un premier temps, on s'intéresse à la question de l'échantillonnage uniforme dans la population. Nous décrivons le processus pénalisé, appelé processus auxiliaire, qui correspond au trait d'un individu "typique" dans la population en donnant son générateur infinitésimal. Dans un second temps, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la mesure empirique associée au processus de branchement. Sous des hypothèses assurant l'ergodicité du processus auxiliaire, nous montrons que le processus auxiliaire correspond asymptotiquement au trait le long de sa lignée ancestrale d'un individu échantillonné uniformément dans la population. Enfin, à partir de données composées des traits à la naissance des individus dans l'arbre jusqu'à une génération donnée, nous proposons des estimateurs à noyau de la densité de transition de la chaine correspondant au trait le long d'une lignée ainsi que de sa mesure invariante. De plus, dans le cas d'une diffusion réfléchie sur un compact, nous estimons par maximum de vraisemblance le taux de division du processus. Nous montrons la consistance de cet estimateur ainsi que sa normalité asymptotique. L'implémentation numérique de l'estimateur est par ailleurs réalisée.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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