Analysis of Backward SDEs with Jumps and Risk Management Issues - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Access content directly
Theses Year : 2012

Analysis of Backward SDEs with Jumps and Risk Management Issues

Etude des EDS rétrogrades avec sauts et problèmes de gestion du risque

Abstract

This PhD dissertation deals with issues in management, measure and transfer of risk on the one hand and with problems of stochastic analysis with jumps under model uncertainty on the other hand. The first chapter is dedicated to the analysis of Choquet integrals, as non necessarily law invariant monetary risk measures. We first establish a new representation result of convex comonotone risk measures, then a representation result of Choquet integrals by introducing the notion of local distortion. This allows us then to compute in an explicit manner the inf-convolution of two Choquet integrals, with examples illustrating the impact of the absence of the law invariance property. Then we focus on a non-proportional reinsurance pricing problem, for a contract with reinstatements. After defining the indifference price with respect to both a utility function and a risk measure, we prove that is is contained in some interval whose bounds are easily calculable. Then we pursue our study in a time dynamic setting. We prove the existence of bounded solutions of quadratic backward stochastic differential equations (BSDEs for short) with jumps, using a direct fixed point approach. Under an additional standard assumption, or under a convexity assumption of the generator, we prove a uniqueness result, thanks to a comparison theorem. Then we study the properties of the corresponding non-linear expectations, we obtain in particular a non linear Doob-Meyer decomposition for g-submartingales and their regularity in time. As a consequence of this results, we obtain a converse comparison theorem for our class of BSDEs. We give applications for dynamic risk measures and their dual representation, and compute their inf-convolution, with some explicit examples, when the filtration is generated by both a Brownian motion and an integer valued random measure. The second part of this PhD dissertation is concerned with the analysis of model uncertainty, in the particular case of second order BSDEs with jumps. These equations hold P-almost surely, where P lies in a wide family of probability measures, corresponding to solutions of some martingale problems on the Skorohod space of càdlàg paths. We first extend the definition given by Soner, Touzi and Zhang of second order BSDEs to the case with jumps. For this purpose, we prove an aggregation result, in the sense of Soner, Touzi and Zhang, on the Skorohod space D. This allows us to use a quasi-sure version of the canonical process jump measure compensator. Then we prove a wellposedness result for our class of second order BSDEs. These equations include model uncertainty, affecting both the volatility and the jump measure of the canonical process.
Cette thèse traite d'une part, de questions de gestion, de mesure et de transfert du risque et d'autre part, de problèmes d'analyse stochastique à sauts avec incertitude de modèle. Le premier chapitre est consacré à l'analyse des intégrales de Choquet, comme mesures de risque monétaires non nécessairement invariantes en loi. Nous établissons d'abord un nouveau résultat de représentation des mesures de risque comonotones, puis un résultat de représentation des intégrales de Choquet en introduisant la notion de distorsion locale. Ceci nous permet de donner ensuite une forme explicite à l'inf-convolution de deux intégrales de Choquet, avec des exemples illustrant l'impact de l'absence de la propriété d'invariance en loi. Nous nous intéressons ensuite à un problème de tarification d'un contrat de réassurance non proportionnelle, contenant des clauses de reconstitution. Après avoir défini le prix d'indifférence relatif à la fois à une fonction d'utilité et à une mesure de risque, nous l'encadrons par des valeurs facilement implémentables. Nous passons alors à un cadre dynamique en temps. Pour cela, nous montrons, en adoptant une approche par point fixe, un théorème d'existence de solutions bornées pour une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs dans la suite) avec sauts et à croissance quadratique. Sous une hypothèse additionnelle classique dans le cadre à sauts, ou sous une hypothèse de convexité du générateur, nous établissons un résultat d'unicité grâce à un principe de comparaison. Nous analysons les propriétés des espérances non linéaires correspondantes. En particulier, nous obtenons une décomposition de Doob-Meyer des surmartingales non-linéaires ainsi que leur régularité en temps. En conséquence, nous en déduisons facilement un principe de comparaison inverse. Nous appliquons ces résultats à l'étude des mesures de risque dynamiques associées, sur une filtration engendrée à la fois par un mouvement brownien et par une mesure aléatoire à valeurs entières, à leur repésentation duale, ainsi qu'à leur inf-convolution, avec des exemples explicites. La seconde partie de cette thèse concerne l'analyse de l'incertitude de modèle, dans le cas particulier des EDSRs du second ordre avec sauts. Nous imposons que ces équations aient lieu au sens presque-sûr, pour toute une famille non dominée de mesures de probabilités qui sont solution d'un problème de martingales sur l'espace de Skorohod. Nous étendons d'abord la définition des EDSRs du second ordre, telles que définies par Soner, Touzi et Zhang, au cas avec sauts. Pour ce faire, nous démontrons un résultat d'agrégation au sens de Soner, Touzi et Zhang sur l'espace des trajectoires càdlàg. Ceci nous permet, entre autres, d'utiliser une version quasi-sûre du compensateur de la mesure des sauts du processus canonique. Nous montrons alors un résultat d'existence et d'unicité pour notre classe d'EDSRs du second ordre. Ces équations sont affectées par l'incertitude portant à la fois sur la volatilité et sur les sauts du processus qui les dirige.
Fichier principal
Vignette du fichier
these.pdf (2.05 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates and versions

pastel-00782154 , version 1 (29-01-2013)

Identifiers

  • HAL Id : pastel-00782154 , version 1

Cite

Mohamed Nabil Kazi-Tani. Analysis of Backward SDEs with Jumps and Risk Management Issues. Probability [math.PR]. Ecole Polytechnique X, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨pastel-00782154⟩
727 View
1444 Download

Share

Gmail Facebook X LinkedIn More