Gradient Theory: Constitutive Models and Fatigue Criteria; Application in Micromechanics
Théorie à Gradient: Models de Comportement et Critères de Fatigue; Application en Micromécanique
Résumé
In the present thesis, two new classes of phenomenological models in the framework of the continuum thermodynamics and gradient theory are proposed. The first one is standard gradient constitutive model used to deal with the mechanical problems at micro-scale, and the other concerns gradient fatigue criteria for the problems at small scale. Using these, some common effects which are not captured yet in the classical mechanics but become significant at sufficiently small scales, are taken into account. For each class, the size and gradient effects which are the two effects most commonly discussed and very confused between each other in the literature, are clearly distinct and demonstrated to be integrated into the later via gradient terms. The thesis contains two principal contents presented in the part A and part B, respectively corresponding to the two new model classes. The following are their summary: Part A- Standard Gradient Constitutive Models: Application in Micro-Mechanics. A formulation of Standard Gradient Plasticity Models, based on an abundant researches on strain gradient plasticity (SPG) theory in the literature such as the ones of Q.S. Nguyen (2000, 2005, 2011 and 2012), is proposed and numerically implemented. The models are based on a global approach in the framework of continuum thermodynamics and generalized standard materials where the standard gradients of the internal parameters in the set of state variables are introduced. The governing equations for a solid are derived from an extended version of the virtual work equation (Frémond, 1985 or Gurtin, 1996). These equations can also be derived from the formalism of energy and dissipation potentials and appear as a generalized Biot equation for the solid. The gradient formulation established in such way is considered a higher-order extension of the local plasticity theory, with the introduction of the material characteristic length scale and the insulation boundary condition proposed by Polizzotto. The presence of strain gradient leads to a Laplacian equation and to non-standard boundary value problem with partial differential equations of higher order. A computational method, at the global level, based on diffusion like-problem spirit is used. Illustrations are given and applied to some typical problems in micro-mechanics to reproduce the well-known mechanical phenomenon, the effect "smaller is stronger". A good agreement between numerical results and reference counterparts is found; mesh-independence of numerical results is observed. Part B- Gradient Fatigue Criteria at Small Scale. A reformulation of gradient fatigue criteria is proposed in the context of multiaxial high-cycle fatigue (HCF) of metallic materials, initiated by Papadopoulos 1996. The notable dependence of fatigue limit on some common factors concerning the material specimen size is analysed and modeled. These factors, which are not taken into account before in classical fatigue criteria but become significant at sufficiently small scales, are included in the new formulation. Among such factors, three ones intimately related to each other, the pure size (smaller is stronger), stress gradient (higher gradient is higher resistance) and loading (i.e. loading mode) effects, are here investigated. An effort has been made to roughly integrate all these effects into only one through gradient terms. According to that, a new class of fatigue criteria with stress gradient terms introduced not only in the normal stress but also in the shear stress parts, are formulated. Such a formulation allows to capture all the pure size (if important) and stress gradient (if any) effects, as well as to cover a wide range of loading effect (traction, bending and shearing, for instance). Due to such a property, these new criteria are naturally generalized to multiaxial loadings to be a new version of stress gradient dependent multiaxial fatigue criteria. Application to some classical fatigue criteria such Crossland and Dang Van is provided as illustrations. As shown, classical fatigue criteria as well as the one of Papadopoulos 1996, are considered special cases of the new respective criteria. An overview for the whole thesis is put in this Summary, and an overview for each model class is found in the Chapter 1 where a general introduction of the thesis is given. Their corresponding detail are presented in the Chapters 2-4 (for part A) and Chapters 5-6 (for part B). The last chapter, Chapter 7, is dedicated to general conclusions and perspectives.
Le travail porte sur deux grandes classes de modèles mécaniques à gradient : les modèles de comportement élastoplastiques et les modèles de fatigue à grand nombre de cycles. Sa principale motivation vient du fait que les problématiques nanomécaniques deviennent de plus en plus importantes dans l'ingénierie et les technologies microélectromécaniques. Dans ces problèmes à petites échelles, les effets de gradient et d'échelle deviennent significatifs. Leur prise en compte dans le dimensionnement et donc dans les modèles de comportement et de durée de vie est nécessaire pour une bonne estimation de la fiabilité de tels dispositifs. Dans cette thèse, l'auteur s'est attaché à étudier d'une part les modèles de comportement élastoplastiques à gradient dans un cadre standard généralisé, d'autre part les possibilités d'extension des critères fatigue à grand nombre de cycles. Ces deux thématiques constituent les deux grandes parties (A et B) du mémoire présenté. Partie A- Modèles de comportement standards à gradient Après une analyse de la littérature abondante sur les formulations des lois de comportement élastoplastiques à gradient, l'auteur a retenu celles proposées par Q.S. Nguyen (2000, 2005, 2011 et 2012). Elle se base sur une approche globale cohérente, mise en oeuvre dans le cadre standard généralisé (à partir du potentiel thermodynamique et du potentiel de dissipation). Elle permet l'obtention des équations de comportement, d'évolution ainsi que des principes variationnels associés. Ce cadre rend aisé aussi le traitement des questions relatives à l'unicité des solutions. Les modèles à gradient élastoplastiques considérés comprennent différents types d'écrouissage (cinématique et isotrope). Lorsque le potentiel de dissipation dépend du gradient des variables internes, l'implémentation numérique de ces modèles présente des difficultés. Une méthode de régularisation de l'énergie permet de surmonter celles-ci. La présence du gradient conduit à un problème d'évolution non standard avec une équation de Laplace et des conditions aux limites traduites par des équations différentielles du second ordre. La méthode de résolution choisie et implémentée dans la code CAST3M est similaire à celle utilisée pour les problèmes de diffusion. Quelques exemples typiques d'illustration sont ensuite traités et comparés aux résultats de la littérature pour montrer la pertinence des modèles. Il s'agit de la torsion des fils minces, du cisaillement des films minces ainsi de la croissance des microcavités. L'effet bien connu resumé par les mots "smaller is stronger" est retrouvé. Cette partie comporte quatre chapitres. Partie B- Critères de fatigue à gradient Les effets de gradient et de taille sont bien connus en fatigue des matériaux. Ils sont souvent mis en évidence dans les problèmes d'entailles, de fretting fatigue et de micromécaniques. S'il existe un très grand nombre de critères de fatigue, très peu de ceux-ci sont à même de reproduire ces effets. Un travail pertinent est celui effectué par Papadopoulos et Panoskaltsis en 1996. A partir d'une analyse des essais disponibles dans la littérature, il met en évidence les effets de gradients et ceux de taille et propose un critère de fatigue prenant en compte uniquement le gradient de la contrainte hydrostatique. Les travaux de la thèse partent de cette analyse et reformulent les critères de fatigue multiaxiale à gradient pour prendre en compte le gradient des contraintes dans les deux principales composantes des critères (relatives à l'amplitude du cisaillement et à la contrainte hydrostatique) d'une manière générale en définissant une amplitude de cisaillement et une contrainte hydrostatique étendues intégrant des termes de gradient. Deux critères classiques, très utilisés dans le dimensionnement des structures industrielles, sont en particulier formulés dans le nouveau cadre à gradient. Il s'agit du critère de Crossland et de celui de Dang Van. Une validation de ces propositions est ensuite effectuée en utilisant les résultats expérimentaux de la littérature. De très bonnes corrélations sont obtenues. Cette partie comporte deux chapitres, suivis d'une conclusion générale et d'une annexe sur l'implémentation numérique.
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