Controllability of Schrödinger and singular degenerate parabolic equations
Contrôle d'équations de Schrödinger et d'équations paraboliques dégénérées singulières
Résumé
This memoir presents the achievements of my thesis on the control of partial differential equations. The first part mainly deals with two aspects of bilinear Schrödinger equations : negative controllability results in small time with small controls and simultaneous controllability. We propose a general setting for the existence of a positive minimal time for local exact controllability to hold with small controls. The negative result, based on the coercivity of a quadratic form associated to a second order power series expansion, is extended to simultaneous controllability. Using J.-M.~Coron's return method, we prove simultaneous local exact controllability for two or three equations, up to a global phase and/or up to a global delay. The reference trajectory is designed using partial control results. Using a perturbation argument, this idea is extended to prove simultaneous global exact controllability of an arbitrary number of equations without restrictions on the potential. In the second part, we add, in the model, a polarizability term which is quadratic with respect to the control. Taking into account this physically meaningfull term, usually neglected, is interesting when the dipole moment is not sufficient to control the particle. In any space dimension, we obtain approximate controllability towards the ground state with explicit controls. The previous perturbation argument together with tools from bilinear control lead to global exact controllability of the 1D Schrödinger equation with a polarizability term. The last part deals with a Grushin-type operator on 2D rectangle. This operator is both degenerate and singular on a line that separates the domain in two components. A necessary and sufficient condition on the coefficient of the singular potential for unique continuation to hold.
Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.
Loading...