Optimization of composite structures: A shape and topology sensitivity analysis
Optimisation des structures composites: Une analyse de sensibilité géométrique et topologique
Résumé
This thesis is devoted to the study of two main problems, namely the optimal design of multi-layered composite laminates and the topological sensitivity analysis in anisotropic elastostatics. Concerning the composite design, we consider minimal weight structures subjected to stiffness and buckling constraints, where the design variables are the shape/topology of each ply and the stacking sequence. Indeed, the composite laminate is made up of a collection of fiber reinforced orthotropic plies whose main axes can take four different orientations: 0º,90º,45º,-45º. The way these orientations are arranged within the composite defines the stacking sequence. The physical behavior of the multi-layered laminate is governed by the system of linearized von Kármán equations for plates. In order to optimize both design variables, we rely on a decomposition technique which aggregates the constraints into one unique constraint called margin function. Thanks to this approach, a rigorous equivalent bi-level optimization problem is established. The latter problem is made up of a lower level represented by the combinatorial optimization of the stacking sequence and a higher level represented by the shape/topology optimization of each ply. We propose for the stacking sequence optimization an outer approximation method which iteratively solves a set of mixed integer linear problems associated to the evaluation of the constraint margin function. For the shape/topology optimization of each ply, we lean on the level set method for the description of the interfaces and the Hadamard method for boundary variations by means of the computation of the shape gradient. An aeronautic test case is exhibited for different constraints, namely compliance, reserve factor and first buckling load. The second main problem of this thesis deals with the topological derivative of cost functionals that depend on the stress and the displacement (assuming a linearly elastic material behavior) in a general 2D and 3D anisotropic setting, where both the background and the inhomogeneity may have arbitrary anisotropic elastic properties. A small-inhomogeneity expansion of the cost function is mathematically justified for a wide class of displacement and stress-based cost functionals having smooth densities and computational procedures are then discussed. Several 2D and 3D numerical examples are presented, in particular demonstrating the proposed formulation of the topological derivative on practical cases involving anisotropic elasticity and non-quadratic cost functionals. Independently of the foregoing subjects, we treat additionally two optimal design problems. First we consider the optimal distribution of several elastic materials in a fixed working domain with either a sharp or a smooth interface. In order to optimize both the geometry and topology of the mixture, we rely on the level set method and the signed distance function for the description of the interfaces between the different phases. Secondly, in the framework of efficient power complements to aircraft engines, we seek to come up with the optimal micro-structure of micro-tubular fuel cells via an inverse homogenization technique which maximizes the contact surface subjected to a pressure drop and a permeability constraint. The optimal periodic design (fluid/solid) emerges from the application of a shape gradient algorithm coupled to a level-set method for the geometrical description of the corresponding cell problem.
Cette thèse est consacrée principalement à l'étude de deux problèmes, à savoir la conception optimale des drapages composites et l'analyse de sensibilité topologique élastostatique anisotrope. En ce qui concerne la conception des composites, nous considérons des structures de masse minimale soumises à des contraintes de raideur et flambage, où les variables de conception sont la forme de chaque pli et la séquence d'empilement. En effet, le drapage composite est constitué d'une collection de plis orthotropes dont les axes principaux peuvent prendre quatre orientations différentes: 0º , 90º , 45º , -45º. La manière dont ces orientations sont disposées dans le composite définit la séquence d'empilement. Le comportement physique du composite est modélisé par le système d'équations des plaques linéarisées de von Kármán. Afin d'optimiser les deux variables de conception, nous nous appuyons sur une technique de décomposition qui regroupe les contraintes dans une seule fonction qui dépend des formes de chaque pli uniquement. Grâce à cette approche, un problème équivalent d'optimisation à deux niveaux est établi de manière rigoureuse. Le premier niveau, aussi appelé inférieur, représente l'optimisation combinatoire de la séquence d'empilement tandis que le deuxième niveau, ou niveau supérieur, représente l'optimisation de la forme de chaque pli. Nous proposons ainsi pour le niveau inférieur une méthode combinatoire convexe, alors que pour le niveau supérieur une méthode des lignes de niveaux couplé à la notion du gradient de forme. Un cas test aéronautique est détaillé pour diverses contraintes, à savoir la compliance, le facteur de réserve et la première charge de flambement. Ensuite, nous étudions la dérivée topologique des fonctions coût qui dépendent de la déformation et du déplacement (en supposant un comportement du matériau élastique linéaire) dans un cadre 2D et 3D anisotrope général, c'est à dire où à la fois le milieu et l'inclusion peuvent avoir des propriétés élastiques arbitraires. Le développement asymptotique de la fonction coût par rapport à l'inclusion est mathématiquement justifié pour une large classe des critères et des procédures de calcul sont plus tard discutées à la vue de plusieurs exemples numériques 2D et 3D. Finalement, en dehors des sujets mentionnés précédemment, nous traitons en outre deux problèmes de conception optimale. Premièrement, nous considérons la meilleure répartition de plusieurs matériaux élastiques dans un domaine fixe, où l'interface peut être nette ou lisse. Afin d'optimiser à la fois la géométrie et la topologie du mélange, nous nous appuyons sur la méthode des lignes de niveau et la fonction distance signée pour la description des interfaces entre les différentes phases. Deuxièmement, dans le cadre de l'étude des dispositifs énergétiques complémentaires aux moteurs d'avions, nous cherchons à trouver la micro-structure optimale d'une pile à combustible micro-tubulaire par une technique d'homogénéisation inverse. Le motif périodique trouvé vise à maximiser la surface d'échange électrochimique soumis à une contrainte de perte de charge et une contrainte de perméabilité. L'agencement optimal liquide/solide découle de l'application de la méthode de lignes de niveau au problème de cellule correspondant.