algebraic dynamics of rational self-maps on surfaces
Dynamique algébrique des applications rationnelles de surfaces
Résumé
This thesis contains three parts. The first one is devoted to the study of the set of periodic points for birational surface maps. We prove that any birational transformation of a smooth projective surface whose degree growth is exponential admits a Zariski-dense set of periodic orbits. In the second part, we prove the dynamical Mordell-Lang conjecture for all polynomial birational transformations of the affine plane defined over a field of characteristic zero. Our approach gives a new proof of this conjecture for polynomial automorphisms of the affine plane. The last part is concerned with a problem in affine geometry that was inspired by the generalization to any polynomial map of the dynamical Mordell-Lang conjecture. Given any finite set S of valuations that are defined on the polynomial ring k[x,y] over an algebraically closed field k, trivial on k, we give a necessary and sufficient condition so that the field of fractions of the intersection of the valuation rings of S with k[x,y] has transcendence degree 2 over k.
Cette thèse se se compose de trois parties. La première partie est consacrée à l'étude des points périodiques des applications birationnelles des surfaces projectives. Nous montrons que toute application birationnelle de surface dont la croissance des degrés est exponentielle admet un ensemble de points périodiques Zariski dense. Dans la seconde partie, nous démontrons la conjecture de Mordell-Lang dynamique pour toute application polynomiale birationnelle du plan affine définie sur un corps de caractéristique nulle. Notre approche donne une nouvelle démonstration de cette conjecture pour les automorphismes polynomiaux du plan. Enfin la troisième partie porte sur un problème de géométrie affine inspiré par la généralisation au cas de toutes les applications polynomiales du plan affine de la conjecture de Mordell-Lang dynamique. Etant donné un ensemble fini S de valuations sur l'anneau de polynomes k[x,y] sur un corps algébriquement clos k triviales sur k, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que le corps des fractions de l'intersection des anneaux de valuations de S avec k[x,y] soit de degré de transcendance 2 sur k.
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