Projections in several complex variables
Projecteurs en Plusieurs Variables Complexes
Résumé
This thesis consists two parts. In the first part, we completely study the heat equation method ofMenikoff-Sjöstrand and apply it to the Kohn Laplacian defined on a compact orientable connected CR manifold. We then get the full asymptotic expansion of the Szegö projection for (0,q) forms when the Levi formis nondegenerate. This generalizes a result of Boutet de Monvel and Sjöstrand for (0,0) forms. Our main tool is Fourier integral operators with complex valued phase functions of Melin and Sjöstrand. In the second part, we obtain the full asymptotic expansion of the Bergman projection for (0,q) forms when the Levi form is non-degenerate. This also generalizes a result of Boutet deMonvel and Sjöstrand for (0,0) forms. We introduce a new operator analogous to the Kohn Laplacian defined on the boundary of a domain and we apply the heat equation method ofMenikoff and Sjöstrand to this operator. We obtain a description of a new Szegö projection up to smoothing operators. Finally, by using the Poisson operator, we get our main result.
Cette thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie, nous appliquons la méthode de Menikoff-Sjöstrand au laplacien de Kohn, défini sur une varieté CR compacte orientée connexe et nous obtenons un développement asymptotique complet du projecteur de Szegö pour les (0,q) formes quand la forme de Levi est non-dégénérée. Cela généralise un résultat de Boutet de Monvel et Sjöstrand pour les (0,0) formes. Nous calculons aussi le terme dominant.
Dans la deuxiéme partie, nous introduisons un nouvel opérateur analogue au laplacien de Kohn, défini sur le bord du domaine et nous y appliquons la méthode de Menikoff-Sjöstrand. Cela donne une description modulo des opérateurs régularisants d'un nouvel projecteur de Szegö. Finalement, en utilisant l'opérateur de Poisson, nous obtenons un développement asymptotique complet de la singularité du noyau de Bergman pour les (0,q) formes quand la forme de Levi est non-dégénérée.
Dans la deuxiéme partie, nous introduisons un nouvel opérateur analogue au laplacien de Kohn, défini sur le bord du domaine et nous y appliquons la méthode de Menikoff-Sjöstrand. Cela donne une description modulo des opérateurs régularisants d'un nouvel projecteur de Szegö. Finalement, en utilisant l'opérateur de Poisson, nous obtenons un développement asymptotique complet de la singularité du noyau de Bergman pour les (0,q) formes quand la forme de Levi est non-dégénérée.
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