Tropical methods for the localization of eigenvalues and application to their numerical computation
Méthodes tropicales pour la localisation de valeurs propres et application à leur calcul numérique
Résumé
In this thesis we use tropical mathematics to locate and numerically compute eigenvalues of matrices and matrix polynomials. The first part of the work focuses on eigenvalues of matrices, while the second part focuses on matrix polynomials and adds a numerical experimental side along the theoretical one.
By “locating” an eigenvalue we mean being able to identify some bounds within which it must lie. This can be useful in situations where one only needs approximate eigenvalues; moreover, they make good starting values for iterative eigenvalue-finding algorithms. Rather than full location, our result for matrices is in the form of majorization bounds to control the absolute value of the eigenvalues. These bounds are to some extent a generalization to matrices of a result proved by Ostrowski for polynomials: he showed (albeit with different terminology) that the product of the k largest absolute values of the roots of a polynomial can be bounded from above and below by the product of its k largest tropical (max-times) roots, up to multiplicative factors which are independent of the coefficients of the polynomial. We prove an analogous result for matrices: the product of the k largest absolute values of eigenvalues is bounded, up to a multiplicative factor, by the product of the k largest tropical eigenvalues. It should be noted that tropical eigenvalues can be computed by using the solution to a parametric optimal assignment problem, in a way that is robust with respect to small perturbations in the data. Another thing worth mentioning is that the multiplicative factor in the bound is of combinatorial nature and it is reminiscent of a work by Friedland, who essentially proved a specialization of our result to the particular case k = 1 (i.e. for the largest eigenvalue only). We can interpret the absolute value as an archimedean valuation; in this light, there is a correspondence between the present result and previous work by Akian, Bapat and Gaubert, who dealt with the same problem for matrices over fields with non- archimedean valuation (specifically Puiseux series, with the leading exponent as valuation) and showed in that case more stringent bounds, with no multiplicative factor, and with generic equality rather than upper and lower bounds.
The second part of the thesis revolves around the computation of eigenvalues of matrix polynomials. For linear matrix polynomials, stable algorithms such as the QZ method have been known for a long time. Eigenproblems for matrix polynomials of higher degree are usually reduced to the linear case, using a linearization such as the companion linearization. This however can worsen the condition number and backward error of the computed eigenvalue with respect to perturbations in the coefficients of the original polynomial (even if they remain stable in the coefficients of the linearized). To mitigate this inconvenience it is common to perform a scaling of the matrix polynomial before linearizing. Various scaling methods have been proposed. In our work, we introduce a two-sided diagonal scaling strategy based on the tropical eigenvalues of the matrix polynomial obtained by taking entrywise valuation of the original one (and we will consider both the archimedean and non-archimedean case). We study the effect of this scaling on the conditioning and backward error, with both analytic formulas and numerical examples, showing that it can increase the accuracy of the computed eigenvalues by several orders of magnitude.
Dans cette thèse nous utilisons des outils d'algèbre tropicale pour localiser et calculer de façon numérique les valeurs propres de matrices et de polynômes matriciels. La première partie porte sur les valeurs propres de matrices, la deuxième se concentre sur les polynômes matriciels tout en rajoutant à l'étude théorique un coté numérique.
``Localiser'' une valeur propre veut dire pouvoir identifier des bornes entre lesquelles elle se trouve. Cela peut être utile dans des situations où l'on n'a besoin que de valeurs propres approximées; ces approximations permettent aussi d'obtenir de bons points d'initialisation d'algorithmes itératifs de calcul des valeurs propres. Notre résultat pour les matrices prend la forme d'inégalités de type majorisation qui contrôlent le module des valeurs propres. Ces bornes peuvent être vues comme une généralisation au cas matriciel d'un résultat prouvé par Ostrowski pour les polynômes : il a montré (en utilisant une terminologie différente) que le produit des k plus grands modules des racines d'un polynôme sont bornées inférieurement et supérieurement par le produit de ses k plus grandes valeurs propres tropicales, à un facteur multiplicatif près qui est indépendent des coefficients du polynôme. Nous prouvons un résultat analogue pour le cas d'une matrice : le produit des k plus grands modules des valeurs propres est borné, à un facteur multiplicatif près, par le produit des k plus grandes valeurs propres tropicales. On notera que les valeurs propres tropicales peuvent être calculées au moyen de la solution d'un problème d'affectation optimale paramètrique, et ceci de façon stable par rapport à des perturbations des données. On notera aussi que le facteur multiplicatif est de nature combinatoire, et qu'il est inspiré d'un résultat de Friedland, lequel a démontré notre inégalité dans le cas particulier k=1. On peut interpréter le module comme une valuation archimédienne; ainsi, il y a une correspondance entre le résultat présenté ici et un travail précédent d'Akian, Bapat et Gaubert, qui ont traité le même problème pour des matrices à coefficients dans un corps avec une valuation non-archimédienne (notamment le corps des séries de Puiseux, équipé de la valuation donnée par l'exposant dominant) et qui ont montré des bornes supérieures plus sérées pour ce cas, sans facteur multiplicatif, et avec égalité générique à la place de bornes supérieures et inférieures.
La deuxième partie de la thèse traite du calcul des valeurs propres de polynômes matriciels. Pour des polynôme matriciels linéaires, des algorithmes stables tels que la méthode QZ sont connus dépuis longtemps. L'approche pour les polynômes de degré supérieur consiste souvent à se ramener au cas linéaire, à l'aide de linéarisations telles que la linéarisation compagnon. Cela peut néanmoins dégrader le conditionnement et l'erreur inverse des valeurs propres calculées, par rapport aux coefficients du polynôme originel (même s'ils restent stables par rapport au linéarisé). Pour faire face à cet inconvénient il est commun de procéder à un changement d'échelle avant de linéariser le polynôme. Plusieurs techniques de changement d'échelle ont été proposées. Dans notre travail, nous introduisons un changement d'échelle par multiplication diagonale à gauche et à droite basée sur les valeurs propres tropicales du polynôme matriciel obtenu en prenant la valuation (archimédienne ou non, selon le cas) de chaque coefficient du polynôme originel. Nous étudions l'effet de ce scaling sur le conditionnement et sur l'erreur inverse, en obtenant des formules analytiques ainsi qu'en donnant des exemples numériques, et nous montrons que la précision des valeurs propres calculées peut être améliorée de plusieurs ordres de grandeur.
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