Methods and algorithms to learn spatio-temporal changes from longitudinal manifold-valued observations
Méthodes et algorithmes pour l’apprentissage de modèles d'évolution spatio-temporels à partir de données longitudinales sur une variété
Résumé
We propose a generic Bayesian mixed-effects model to estimate the temporal progression of a biological phenomenon from manifold-valued observations obtained at multiple time points for an individual or group of individuals. The progression is modeled by continuous trajectories in the space of measurements, which is assumed to be a Riemannian manifold. The group-average trajectory is defined by the fixed effects of the model. To define the individual trajectories, we introduced the notion of « parallel variations » of a curve on a Riemannian manifold. For each individual, the individual trajectory is constructed by considering a parallel variation of the average trajectory and reparametrizing this parallel in time. The subject specific spatiotemporal transformations, namely parallel variation and time reparametrization, are defined by the individual random effects and allow to quantify the changes in direction and pace at which the trajectories are followed. The framework of Riemannian geometry allows the model to be used with any kind of measurements with smooth constraints. A stochastic version of the Expectation-Maximization algorithm, the Monte Carlo Markov Chains Stochastic Approximation EM algorithm (MCMC-SAEM), is used to produce produce maximum a posteriori estimates of the parameters. The use of the MCMC-SAEM together with a numerical scheme for the approximation of parallel transport is discussed. In addition to this, the method is validated on synthetic data and in high-dimensional settings. We also provide experimental results obtained on health data.
Dans ce manuscrit, nous présentons un modèle à effets mixtes, présenté dans un cadre Bayésien, permettant d'estimer la progression temporelle d'un phénomène biologique à partir d'observations répétées, à valeurs dans une variété Riemannienne, et obtenues pour un individu ou groupe d'individus. La progression est modélisée par des trajectoires continues dans l'espace des observations, que l'on suppose être une variété Riemannienne. La trajectoire moyenne est définie par les effets mixtes du modèle. Pour définir les trajectoires de progression individuelles, nous avons introduit la notion de variation parallèle d'une courbe sur une variété Riemannienne. Pour chaque individu, une trajectoire individuelle est construite en considérant une variation parallèle de la trajectoire moyenne et en reparamétrisant en temps cette parallèle. Les transformations spatio-temporelles sujet-spécifiques, que sont la variation parallèle et la reparamétrisation temporelle sont définnies par les effets aléatoires du modèle et permettent de quantifier les changements de direction et vitesse à laquelle les trajectoires sont parcourues. Le cadre de la géométrie Riemannienne permet d'utiliser ce modèle générique avec n'importe quel type de données définies par des contraintes lisses. Une version stochastique de l'algorithme EM, le Monte Carlo Markov Chains Stochastic Approximation EM (MCMC-SAEM), est utilisé pour estimer les paramètres du modèle au sens du maximum a posteriori. L'utilisation du MCMC-SAEM avec un schéma numérique permettant de calculer le transport parallèle est discutée dans ce manuscrit. De plus, le modèle et le MCMC-SAEM sont validés sur des données synthétiques, ainsi qu'en grande dimension. Enfin, nous des résultats obtenus sur différents jeux de données liés à la santé.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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