Arbres aléatoires : asymptotique de fonctionnelles et limites locales - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Access content directly
Theses Year : 2022

Random trees : asymptotics of functionals and local limits

Arbres aléatoires : asymptotique de fonctionnelles et limites locales

Abstract

This thesis is devoted to the study of some asymptotic properties of Bienaymé-Galton-Watson (BGW) trees and Lévy trees. BGW trees encode the genealogical structure of BGW processes which describe the evolution of a population whose individuals reproduce asexually and independently of each other. Lévy trees are the continuous analogues of BGW trees: they emerge as the scaling limits of the latter and encode the genealogical structure of continuous- state branching processes.First, we study very general additive functionals of size-conditioned BGW trees whose offspring distribution is critical and lies in the domain of attraction of a stable law. We show that in the so-called global regime, when properly rescaled, they converge to functionals of a normalized stable Lévy tree. For functionals depending only on the size and height of the tree, we describe a phase transition using an integral test.Next, we study the shape of normalized stable Lévy trees near their root. We show that, when zooming in at the root at the proper speed, we get the immortal tree which consists of an infinite branch onto which trees are grafted according to a Poisson point measure which does not depend on the initial normalization. We apply this result to study the asymptotic behavior of the aforementioned functionals of a normalized stable Lévy tree and we identify two regimes in which either the size or the height dominates the other.Finally, we study the maximal degree of critical and subcritical Lévy trees. We establish a Poissonian decomposition of the tree along its large nodes and we determine the genealogical structure of those nodes. Furthermore, we make sense of the distribution of the Lévy tree conditioned to have a fixed maximal degree. We apply this to study the local limit of the Lévy tree conditioned on having large maximal degree. We show that a condensation phenomenon occurs in the subcritical case, whereas there is local convergence to the immortal tree in the critical case.
Cette thèse porte sur l’étude de quelques propriétés asymptotiques des arbres de Bienaymé- Galton-Watson (BGW) et des arbres de Lévy. Les arbres de BGW encodent la structure généalogique des processus de BGW qui décrivent l’évolution d’une population dont les individus se reproduisent asexuellement et indépendamment les uns des autres. Les arbres de Lévy sont les analogues continus des arbres de BGW : ils sont définis comme les limites d’échelle de ces derniers et encodent la structure généalogique des processus de branchement à espace d’état continu. Dans une première partie, nous étudions des fonctionnelles additives générales sur les arbres de BGW conditionnés par leur taille et dont la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d’attraction d’une loi stable. Dans le régime dit global, il y a convergence vers des fonctionnelles de l’arbre stable normalisé. Nous décrivons aussi une transition de phase à l’aide d’un test intégral pour les fonctionnelles dépendant uniquement de la taille et de la hauteur de l’arbre. La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’arbre stable normalisé au voisinage de sa racine. En se rapprochant de la racine à la bonne vitesse, nous obtenons l’arbre immortel formé d’une branche infinie, sur laquelle sont greffés des arbres selon une mesure ponctuelle de Poisson ne dépendant pas de la normalisation initiale. Ensuite, ce résultat est appliqué pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles de l’arbre stable normalisé mentionnées ci-dessus. Enfin, nous étudions le degré maximal des arbres de Lévy critiques et sous-critiques. Nous établissons une décomposition poissonienne de l’arbre le long des gros nœuds et nous dé- terminons la structure généalogique de ces derniers. De plus, nous donnons un sens à la loi de l’arbre de Lévy conditionné à avoir un degré maximal fixé. Cela permet d’obtenir la limite locale de l’arbre de Lévy conditionné à un grand degré maximal. Dans le cas sous-critique, un phénomène de condensation apparaît alors qu’il y a convergence vers l’arbre immortel dans le cas critique.
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tel-04028155 , version 1 (14-03-2023)

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  • HAL Id : tel-04028155 , version 1

Lien texte intégral

Cite

Michel Nassif. Arbres aléatoires : asymptotique de fonctionnelles et limites locales. Analyse fonctionnelle [math.FA]. École des Ponts ParisTech, 2022. Français. ⟨NNT : 2022ENPC0039⟩. ⟨tel-04028155⟩
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