Hyper-réduction d'ordre de modèle en mécanique du contact sous formulation mixte potentiellement non symétrique : analyse théorique et numérique - PASTEL - Thèses en ligne de ParisTech Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Model Hyper-Reduction of potentially non symmetric mixed formulation in contact mechanics : theoretical and numerical analysis

Hyper-réduction d'ordre de modèle en mécanique du contact sous formulation mixte potentiellement non symétrique : analyse théorique et numérique

Simon Le Berre

Résumé

We are interested in model order reduction of contact mechanics problems treated by Lagrange multipliers, which remains a scientific challenge, in particular due to the non negativity constraint on the multipliers. This thesis relies on Hyper-Reduced order modelling, which is an efficient strategy to deal with nonlinearities. We consider here its extension to contact mechanics. A Hybrid Hyper-Reduced (HHR) model is built, using a reduced integration domain (RID), a POD (Proper Orthogonal Decomposition) primal reduced basis (RB), and a dual reduced basis obtained by restriction of the dual finite element (FE) basis to the RID. The HHR model inherits its saddle-point formulation from the FE problem. We propose in this work a theoretical and numerical analysis of the HHR model.First, error bounds of the HHR model are theoretically demonstrated. Thanks to the dual reduced basis construction by restriction to the reduced domain, Céa type error estimators are obtained instead of classical Brezzi estimators classically derived for mixed problems. Hence, the primal error is independent from the dual approximation, while the dual error only depends on the primal error and on the inf-sup/LBB constant of the HHR model. A posteriori error estimators are also derived, allowing for the development of a new efficient error indicator.These error estimations pave the way to automatic numerical strategies improving the dual precision of the HHR method. We propose two primal RB enrichment strategies that ensure the solvability (LBB/inf-sup condition) of the HHR problem while significantly improving the precision of the dual solutions. These enrichment strategies are based on the minimization of the condition number of the reduced contact rigidity matrix. In order to limit the enrichment of the primal RB while still reducing the dual error, clustering methods on the parametric space are introduced. They consist in dealing with the nonlinear solution manifold in a piece-wise low-rank linear manner by building local reduced order models.We then look at the generalization of the HHR model to non-matching contact meshes. By construction, the HHR model is a Petrov-Galerkin projection of the FE saddle-point problem. This projection leads to a generalized saddle-point problem (non block-symmetric) when node-to-surface contact conditions are considered. The generalized HHR problem, under associated solvability conditions, is then solved using a dedicated solver. Moreover, the HHR method inherits the Hyper-Reduction's ability to efficiently treat nonlinear mechanics problems. Hence, unilateral contact problems between deformable nonlinear materials can be reduced with the HHR method, which goes beyond the current state-of-the-art. Accurate results obtained on a industrial example of interest confirms the high potential of the HHR method.
Ce manuscrit se focalise sur la réduction d’ordre de modèle de problèmes en mécanique du contact traités parmultiplicateurs de Lagrange, qui reste un vrai défi scientifique, du fait notamment de la contrainte de signe sur les multiplicateurs. Cetravail s’appuie sur l’hyper-réduction d’ordre de modèles, méthode efficace pour le traitement des non-linéarités, et considère sonextension aux problèmes de contact. Pour cela un modèle hyper-réduit hybride (HHR) est construit, reposant sur un domaine d'intégrationréduit, une base réduite (BR) primale obtenue par POD (Proper Orthogonal Decomposition), et une base réduite duale obtenue via larestriction de la base duale éléments finis (EF) au domaine réduit. Le modèle HHR hérite de la nature de typepoint-selle du problème EF. Nous proposons dans ce travail une analyse théorique et numérique du modèle HHR.Tout d'abord, des bornes d'erreur du modèle HHR sont théoriquement démontrées. Grâce au choix de construction de la base réduite duale par restriction sur le domaine réduit, des estimateurs {a priori} de type Céa peuvent être prouvés sur l’erreur primale, contrairement aux estimateurs de type Brezzihabituellement obtenus sur des problèmes mixtes. Ainsi l’erreur primale ne dépend pas de l’approximation duale. L’erreur duale quant à elle ne dépend que de l'erreur primale et de la constante inf-sup/LBB du modèle. Des estimateurs a posteriori sont également démontrés, permettant d'introduire un nouvel indicateur d'erreur efficace.Ces estimateurs d'erreur ouvrent la voie à des techniques numériques d'amélioration automatique de la précision des solutions duales de la méthode HHR.Nous proposons ainsi deux stratégies d'enrichissement de la BR primale permettant de garantir la solvabilité (condition inf-sup/LBB) du problème tout en contrôlant les erreurs duales. Ces stratégies reposent sur une minimisation du conditionnement de la matrice de rigidité de contact réduite. Afin de limiter l'enrichissement de la BR primale tout en réduisant encore l'erreur sur les solutions duales, des méthodes de clustering sur l'espace paramétrique sont développées. Elles consistent à traiter la variété non-linéaire des solutions du problème de manière linéaire par morceaux en construisant des modèles d'ordres réduits locaux.Nous nous intéressons ensuite à la généralisation du modèle HHR au cas des maillages de contact non concordants. Par construction, le modèleHHR est une projection de type Petrov-Galerkin du problème de point-selle obtenu par discrétisation EF. Cette projection conduit à un problème depoint-selle généralisé (non symétrique par bloc) lors du traitement du contact en configuration nœud-à-surface. Le problème HHR généralisé,sous conditions de solvabilité associées, est alors résolu avec un solveur dédié. Par ailleurs, la méthode HHR hérite des capacités del'hyper-réduction à traiter efficacement des problèmes de mécanique non-linéaire. Ainsi, des problèmes de contact unilatéral entrematériaux non linéaires déformables peuvent être réduits via la méthode HHR, ce qui dépasse l'état de l'art actuel.La précision des résultats obtenus sur un exemple industriel d’intérêt confirment le fort potentiel de la méthode HHR.
Fichier principal
Vignette du fichier
2023UPSLM043_archivage.pdf (16.53 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04438231 , version 1 (05-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04438231 , version 1

Citer

Simon Le Berre. Hyper-réduction d'ordre de modèle en mécanique du contact sous formulation mixte potentiellement non symétrique : analyse théorique et numérique. Mécanique [physics]. Université Paris sciences et lettres, 2023. Français. ⟨NNT : 2023UPSLM043⟩. ⟨tel-04438231⟩
56 Consultations
18 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More