Multiscale methods : non-intrusive implementation, advection-dominated problems and related topics
Méthodes multi-échelles : approches non intrusives, problèmes advection-dominés et questions reliées
Résumé
This thesis is concerned with computational methods for multiscale partial differential equations (PDEs), and in particular the multiscale finite element method (MsFEM). This is a finite element type method that performs a Galerkin approximation of the PDE on a problem-dependent basis. Three particular difficulties related to the method are addressed in this thesis. First, the intrusiveness of the MsFEM is considered. Since the MsFEM uses a problem-dependent basis, it cannot easily be implemented in generic industrial codes and this hinders its adoption beyond academic environments. A generic methodology is proposed that translates the MsFEM into an effective problem that can be solved by generic codes. It is shown by theoretical convergence estimates and numerical experiments that the new methodology is as accurate as the original MsFEM. Second, MsFEMs for advection-dominated problems are studied. These problems cause additional instabilities for naive discretizations. An explanation is found for the instability of previously proposed methods. Numerical experiments show the stability of an MsFEM with Crouzeix-Raviart type boundary conditions enriched with bubble functions. Third, a new convergence analysis for the MsFEM is presented that, for the first time, establishes convergence under minimal regularity hypotheses. This bridges an important gap between the theoretical understanding of the method and its field of application, where the usual regularity hypotheses are rarely satisfied.
Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) multi-échelles, et en particulier sur la méthode dite des éléments finis multi-échelles (MsFEM). Celle-ci est une méthode de type éléments finis qui consiste en une approximation de Galerkin de l'EDP sur une base problème-dépendante. Trois difficultés particulières liées à cette méthode sont abordées dans cette thèse. Premièrement, puisque la MsFEM utilise une base problème-dépendante, la méthode ne peut être facilement implémentée dans des codes industriels génériques. Cela freine la diffusion de la MsFEM au-delà des environnements académiques. Une méthodologie générique est proposée pour convertir la MsFEM en un problème effectif qui peut être résolu par des codes génériques. Il est démontré par des résultats théoriques ainsi que des expériences numériques que la nouvelle méthodologie est aussi précise que la MsFEM originale. Deuxièmement, les MsFEM adaptées aux problèmes advection-dominés sont étudiées. Ce régime spécifique rend instables les discrétisations naïves. Une explication est trouvée pour l'instabilité de certaines méthodes proposées précédemment. Des expériences numériques montrent la stabilité d'une MsFEM avec des conditions aux limites de type Crouzeix-Raviart enrichie par des fonctions bulles. Troisièmement, une nouvelle analyse de convergence pour la MsFEM est présentée, permettant pour la première fois d'établir la convergence sous des hypothèses de régularité minimales. Cette démarche est importante pour réduire l'écart entre la théorie pour la MsFEM et son application en pratique, où les hypothèses de régularité habituelles sont rarement satisfaites.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|