Rigid local systems and Fourier transform.
Systèmes locaux rigides et transformation de Fourier.
Résumé
In 1857, translating into modern language, Riemann showed that the hypergeometric equation can be reconstructed up to isomorphism, from the knowledge of its mono dromes points 0, 1 and ∞. In modern language, we say that the hypergeometric equation is rigid and that its local system is physically rigid. Katz, in his book Rigid Local Systems [11] gives a necessary and tiring for a local system L on P1 is physically hard (Theorem 1.1.2 on page 14). In Section 3.1 we extend this definition to the scope of DP1-modules using the notion of minimal extension, which is presented in Chapter 2. Katz shows, see. [11] Theorem 3.0.2 on page 91 that the Fourier transform, positive characteristic to maintain the rigidity index of irreducible perverse sheaves, provided that neither beam nor are Fourier transformed to be ad hoc support. On the other hand Katz also believes that the Fourier transform in the context of D-modules must maintain rigidity index, cf. [11] page 10. Using these conditions as a guide, we infer the statement of Theorem 3.2.1, cf. Section 3.2, and it shows in the case where the starting module is scheduled on P1. During the preparation of this thesis, S. H. Bloch Esnault showed this result in full generality in [2]. We propose here a different proof of departure when the module is regular singularities on P1. The demonstration is done by comparing the index of rigidity of a DP1-module cf. Theorem 3.1.1, and its Fourier transform, cf. Theorem 3.1.7. The expression of the stiffness index of DP1-starting module uses the knowledge of the monodromy on each of its singular points and the expression of the stiffness index of the Fourier transform uses the knowledge of monodromy at 0 and mono drome decomposition Turrittin to infinity. The concepts of Fourier transform and decomposition Turrittin are presented in Chapter 1. In his book differential equations with polynomial coefficients Malgrange shows in an analytical way, that these mono dromes are not independent, cf. [16] Theorem XII.2.9 page 203. In chapter 3 we demonstrated an algebraically also using the concept of pairs of vector spaces, a concept introduced in Chapter 2.
En 1857, en traduisant dans un langage moderne, Riemann a montré que l'équation hypergéométrique peut être reconstruite, à isomorphisme près, à partir de la connaissance de ses mono dromies aux points 0, 1 et ∞. Dans un langage moderne, on dit que l'équation hypergéométrique est rigide et que son système local est physiquement rigide. Katz, dans son livre Rigid Local Systems [11], donne une condition nécessaire et usante pour qu'un système local L sur P1 soit physiquement rigide (Théorème 1.1.2 page 14). Dans la section 3.1 on étend cette définition au cadre des DP1 -modules en utilisant la notion d'extension minimale, laquelle est présentée dans le chapitre 2. Katz montre, cf. [11] Théorème 3.0.2 page 91, que la transformation de Fourier, en caractéristique positive, préserve l'indice de rigidité des faisceaux pervers irréductibles, pourvu que ni le faisceau ni sont transformé de Fourier soient à support ponctuel. D'autre part Katz pense aussi que la transformation de Fourier dans le cadre des D-modules doit préserver l'indice de rigidité, cf. [11] page 10. En utilisant ces conditions comme guide, on infère l'énoncé du théorème 3.2.1, cf. section 3.2, et on le démontre dans le cas où le module de départ est régulier sur P1. Pendant la préparation de cette thèse, S. Bloch et H. Esnault ont montré ce résultat en toute généralité dans [2]. Nous proposons ici une démonstration différente lorsque le module de départ est à singularités régulières sur P1. La démonstration est faite en comparant l'indice de rigidité d'un DP1 -module, cf. Théorème 3.1.1, et de son transformé de Fourier, cf. Théorème 3.1.7. L'expression de l'indice de rigidité du DP1 -module de départ fait appel à la connaissance de la monodromie sur chacun de ses points singuliers et l'expression de l'indice de rigidité de son transformé de Fourier fait appel à la connaissance de la monodromie en 0 et des mono dromies de la décomposition de Turrittin à l'infini. Les notions de transformation de Fourier et de décomposition de Turrittin sont présentées dans le chapitre 1. Dans son livre Équations différentielles à coefficients polynomiaux Malgrange montre, d'une façon analytique, que ces mono dromies ne sont pas indépendantes, cf. [16] Théorème XII.2.9 page 203. Dans le chapitre 3 on le démontre d'une façon algébrique en utilisant aussi la notion de couples d'espaces vectoriels, notion présenté dans le chapitre 2.
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